Як я можу знайти другий момент зони паралелограма?

0

Як би я знайшов другий момент площі паралелограма, як показано?

Ви можете розділити його на два трикутники та центральний прямокутник, тепер ви знаєте, що всі фігури мають відомий другий момент області, вам потрібно оцінити його за прямокутником та одним із трикутників, другий трикутник має ту саму секунду, що є моментом , тоді застосуємо теорему Штейнера (теорема паралельної осі). Мені це легше, ніж оцінювати всі ці інтеграли. тобі вирішувати.

— Сем Фарджамірад

@SamFarjamirad - Метою було показати, як використовувати інтеграли для вирішення продуктів інерції, що, очевидно, викликає багато плутанини. Однак інші відповіді на це питання були б цікавими.

— Марк

3

Хоча це можна було б вирішити за допомогою формул прямокутника та трикутника, можна застосувати узагальнений підхід, який би працював для будь-якої форми за допомогою інтеграції.

Площа буде:

A = \int_{0}^{c} \int_{х = \frac{б}{c} у}^{х = \frac{б}{c} у + а} 1 г х г у = а c

$A = \int^c_0\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+a}_{x\:=\:\frac{b}{c}y}1\:dx\:dy = ac$

З походження ми оцінюємо перший момент областей:

Q_{х} = \int_{0}^{c} \int_{х = \frac{б}{c} у}^{х = \frac{б}{c} у + а} х г х г у = \frac{а c (а + б)}{2}

$Q_x = \int^c_0\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+a}_{x\:=\:\frac{b}{c}y}x\:dx\:dy = \frac{ac(a+b)}{2}$

Q_{у} = \int_{0}^{c} \int_{х = \frac{б}{c} у}^{х = \frac{б}{c} у + а} у г х г у = \frac{а c^{2}}{2}

$Q_y = \int^c_0\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+a}_{x\:=\:\frac{b}{c}y}y\:dx\:dy = \frac{ac^2}{2}$

Звідси центроїд паралелограма можна оцінити як $\overline{x} = \frac{Q_x}{A}$ $\overline{y} = \frac{Q_y}{A}$

\bar{х} = \frac{Q_{х}}{А} = \frac{а + б}{2}

$\overline{x} = \frac{Q_x}{A} = \frac{a+b}{2}$

\bar{у} = \frac{Q_{у}}{А} = \frac{c}{2}

$\overline{y} = \frac{Q_y}{A} = \frac{c}{2}$

Тоді ми можемо оцінити інтеграли. Нам потрібно змінити своє походження та встановити нові межі інтеграції:

c - \bar{у} = \frac{c}{2}

$c-\overline{y} = \frac{c}{2}$

0 - \bar{у} = - \frac{c}{2}

$0-\overline{y} = -\frac{c}{2}$

\frac{б}{c} у + а - \bar{х} = \frac{б}{c} у + \frac{а - б}{2}

$\frac{b}{c}y+a-\overline{x} = \frac{b}{c}y+\frac{a-b}{2}$

\frac{б}{c} у - \bar{х} = \frac{б}{c} у - \frac{а + б}{2}

$\frac{b}{c}y-\overline{x} = \frac{b}{c}y-\frac{a+b}{2}$

$I_{xx}$ $I_{xy}$ $I_{yy}$

Я_{х х} = \int_{- \frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} \int_{х = \frac{б}{c} у - \frac{а + б}{2}}^{х = \frac{б}{c} у + \frac{а - б}{2}} х^{2} г х г у = \frac{а c (а^{2} + 4 б^{2})}{12}

$I_{xx} = \int^\frac{c}{2}_{-\frac{c}{2}}\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+\frac{a-b}{2}}_{x\:=\:\frac{b}{c}y-\frac{a+b}{2}}x^2\:dx\:dy = \frac{ac(a^2+4b^2)}{12}$

Я_{х у} = \int_{- \frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} \int_{х = \frac{б}{c} у - \frac{а + б}{2}}^{х = \frac{б}{c} у + \frac{а - б}{2}} х у г х г у = \frac{а б c^{2}}{12}

$I_{xy} = \int^\frac{c}{2}_{-\frac{c}{2}}\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+\frac{a-b}{2}}_{x\:=\:\frac{b}{c}y-\frac{a+b}{2}}xy\:dx\:dy = \frac{abc^2}{12}$

Я_{у у} = \int_{- \frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} \int_{х = \frac{б}{c} у - \frac{а + б}{2}}^{х = \frac{б}{c} у + \frac{а - б}{2}} у^{2} г х г у = \frac{а c^{3}}{12}

$I_{yy} = \int^\frac{c}{2}_{-\frac{c}{2}}\int^{x\:=\:\frac{b}{c}y+\frac{a-b}{2}}_{x\:=\:\frac{b}{c}y-\frac{a+b}{2}}y^2\:dx\:dy = \frac{ac^3}{12}$

Використання теореми перпендикулярної осі дало б полярний момент:

Я_{z z} = Я_{х х} + Я_{у у} = \frac{а c (а^{2} + 4 б^{2} + c^{2})}{12}

$I_{zz} = I_{xx}+I_{yy} = \frac{ac(a^2+4b^2+c^2)}{12}$

Because the product of inertia is not zero, the Mohr's circle of Inertia will be needed to generate the Inertia-Matrix. The principal moments of Inertia are:

I_{\bar{x x}} = \frac{I_{x x} + I_{y y}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{I_{x x} - I_{y y}}{2})}^{2} + I_{x y}^{2}}

$I_{\overline{xx}} = \frac{I_{xx}+I_{yy}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_{xx}-I_{yy}}{2}\right)^2 + I_{xy}^2}$

This yields a principal moment of:

I_{\bar{x x}} = \frac{a c}{24} [a^{2} + 4 b^{2} + c^{2} \pm \sqrt{(a - c)^{2} (a + c)^{2} + 4 b^{2} (2 a^{2} + 4 b^{2} - c^{2})}]

$I_{\overline{xx}} = \frac{ac}{24}\left[a^2+4b^2+c^2 \pm \sqrt{(a-c)^2(a+c)^2+4b^2(2a^2+4b^2-c^2)}\right]$

This principle moment would be found by rotating the reference frame by an angle $\theta$ of:

θ = \frac{1}{2} a t a n (\frac{- 2 I_{x y}}{I_{x x} - I_{y y}}) = \frac{1}{2} a t a n (\frac{2 b c}{c^{2} - 4 b^{2} - a^{2}})

$\theta = \frac{1}{2} atan\left(\frac{-2I_{xy}}{I_{xx}-I_{yy}}\right) = \frac{1}{2} atan\left(\frac{2bc}{c^2-4b^2-a^2}\right)$

Note that this can be brought into tensor format:

[\begin{matrix} I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{x y} & I_{y y} & I_{y z} \\ I_{x z} & I_{y z} & I_{z z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix}$

Which is useful in some tensor-based applications.

— Mark
джерело

1

The best way is to create a rectangle by cutting the triangular portion from the left to the right side where it is missing and calculate from the original zero coordinate which is the base width of the triangular portion.

The logic is this the centroid of both triangles is calculated from

[\frac{б c}{2} \times \frac{2}{3} б]_{л е f т} + [\frac{б c}{2} \times \frac{1}{3} б]_{r i г год т}

$[\frac {bc}{2}\times \frac {2}{3}b]_{left} + [\frac {bc}{2} \times \frac {1}{3}b]_{right}$ З цього твердження ми розуміємо, що дві трикутні частини еквівалентні одному прямокутнику, доданому до прямокутної частини графіка, але критично ми не можемо змінити початкову точку, щоб почати з початком + b, або відповідь буде неправильною.

— Роді
джерело