Чому відбувається розгинання стовпців, коли навантаження паралельне стовпцю?

Я вивчаю роботу Ейлера з будівництва конструкцій з книги з цікавості, і згадується, що він розробив математичну теорію, що описує вигин колон під паралельним навантаженням (вагова сила навантаження спрямована вниз уздовж колони). Теорія висвітлюється швидко без особливої ​​мотивації.

Але це змусило мене задуматися; чому стовпчик "застібається" в першу чергу? Якщо навантаження натискає стовпчик вниз, чому стовпчик навіть починає відхилятися набік? Я знаю, що це відбувається в реальному житті, оскільки цей факт легко підтверджується побутовими предметами, але теоретично, чому об’єкти починають відхилятися набік, а не просто стискатися під навантаженнями? Це може бути щось очевидне, і, можливо, я просто замислююся, але все-таки мені це цікаво.

Вигин Ейлера відбувається тому, що світ не є досконалим. Отже, ця теорія передбачає, що існує початкове нескінченно мале відхилення вздовж стовпчика (якщо колонка насправді не є абсолютно вертикальною *). Це відхилення викликає момент згинання вздовж пучка, що збільшує відхилення, що збільшує момент згинання, що збільшує відхилення ...

Для навантажень, менших, ніж навантаження Ейлера, цей порочний цикл врешті стабілізується, і промінь не згинається. При навантаженні Ейлера і вище цикл ніколи не стабілізується і прогин переходить до нескінченності.

Очевидно, що реальний світ має початкові відхилення та інші проблеми, які набагато вищі, ніж "нескінченно малі". Так у реальному світі колони застібаються з навантаженнями, значно нижчими від теоретичних навантажень Ейлера.

_{* Це припущення для вигину Ейлера, але іншим можливим відхиленням є те, що навантаження насправді не ідеально орієнтоване на колону. У реальному світі обидва випадки, ймовірно, відбуваються одночасно}

Подумайте про «тонкий» промінь, наприклад смужку пружинної сталі. Згинати смугу в криву дуже просто, порівняно з розтягуванням або стисканням її по своїй довжині.

Коли вона зігнута в криву, довжина смуги, виміряна навколо кривої, істотно не змінюється, а це означає, що пряма відстань між двома кінцями стає меншою.

Якщо спробувати це експериментально з чимось, що ви можете легко зігнути руками, ви виявите, що графік сили проти відстані між двома кінцями не є прямою лінією - ефективна жорсткість зменшується в міру збільшення навантаження, а промінь більше кривиться.

З іншого боку, жорсткість при стисненні бруса по його довжині без згинання є постійною (і дорівнює , як показано в будь-якій підручнику з міцності матеріалів).$EA/L$

Оскільки в реальному світі неможливо зробити ідеально прямий промінь, промінь буде застібатися, коли кінцеве навантаження досягне тієї точки, коли жорсткість при «згинанні в бік» стає меншою, ніж жорсткість при «ідеальному стискуванні».

Формула Ейлера дає досить гарне наближення до цього навантаження, хоча вона робить ще кілька припущень (наприклад, про форму балки, коли вона згинається набік), які не є абсолютно точними. Але оскільки допуски в геометрії пучка також невідомі, формула Ейлера є достатньо хорошою, щоб бути корисною на практиці, навіть якщо вона зазвичай переоцінює фактичне навантаження вигину в декілька разів (скажімо, в 2 - 5 разів) порівняно з реальним життям.

Оскільки промінь стає гнучкішим після вигину, якщо застосовувати постійне кінцеве навантаження (наприклад, вагу чогось натискання на кінець стовпчика), вигин призводить до катастрофічного виходу з ладу, оскільки промінь все більше і більше вигинається, поки він не розривається. З іншого боку, якщо застосувати кероване переміщення до кінця, процес є оборотним, і коли навантаження буде знято, балка повернеться до своєї (номінально) прямої форми, без постійних пошкоджень.

Не всі стовпці виходять з ладу при стисненні вирівнюванням. У сталевих стовпчиках, менших за коефіцієнт стрункості 50, вони виходять з ладу шляхом прямого стиснення.

Це головна біфуркація стійкості, і вона з'являється не тільки в стовпцях, але і в режимі відмови багатьох інших форм, таких як балки, ферми, посудини, і малюнок вигину може бути досить складним. Наприклад, якщо вирізати ковпачок і дно банки з коксом і покласти його під мікропресс, він буде застібатись на алмазний візерунок на його стінці, скручуючись навколо вертикальної осі.

У стовпчиках це відбувається через еластичну поведінку матеріалу, що призводить до роздвоєння, будь то сталь або алюміній, дерево тощо.

Це не є наслідком залишкової недосконалості при виготовленні колони, а також через навантаження, що не застосовується в ідеальному центрі, хоча ці умови впливатимуть на реакцію колони, але це належить до іншої теми.

У міру збільшення навантаження, прикладеної до колони, напруга стиснення розвивається на площу поперечного перерізу. Ця напруга застосовується рівномірно над поверхнею ділянки, Але цей стрес постійно шукає способи змусити колону до кривої, щоб звільнити напругу, створюючи невеликі зміни в розподілі інтенсивності по площі поверхні при цьому загальна напруга є постійною, отже, створює бічний імпульс, але до силового вигину цього віртуального напруження якраз недостатньо, щоб примусити вигин. Коли навантаження досягне рівня вигину, стовпчик вийде з ладу шляхом випадкового згинання з будь-якої з двох сторін, які мають більший коефіцієнт стрункості.

Якщо навантаження застосовується через центральну лінію колони, то немає побічної сили, але якщо навантаження зміщено, але паралельно, то є бічна сила, яка призводить до вигину.