Об'ємний потік у трубі зі швидкості

Я думаю, що тут я пропускаю щось важливе.

Для рідини зі швидкістю в трубі з площею перерізу об'ємна витрата дорівнює:$u$$S$

$$Q_v = uS$$

Якщо ми зараз розглянемо вектори, об'ємна швидкість потоку:

$$Qv = \int \vec{u} ·\vec{n} dS$$

Де - нормальний вектор до площі поперечного перерізу. Наприклад, проставляючи числа, враховуючи лише одну вісь :$\vec{n}$$x$

$$\vec{u} = 10 \vec{i} \qquad \vec{n} = \vec{i} \qquad S = 10 \\ Qv = 100$$

Однак із теореми про дивергенцію ми знаємо, що:

$$\int \vec{u} · \vec{n} dS = \int \nabla · \vec{u} dV$$

А для несжимаемих рідин , то це дало б .$\nabla · \vec{u} = 0$$Q_v = 0$

Очевидно, я роблю щось дуже неправильне, але не можу бачити чого. Я вважаю, що в цих рівняннях щось не так? Чи нормальний вектор у теоремі про дивергенцію, що посилається на іншу поверхню в цьому випадку, або на обидві поверхні, і це обидва і ?$\vec{n} = \vec{i}$$\vec{n} = -\vec{i}$

Теорема дивергенції застосовна тільки до замкнутої поверхні, що покриває обсяг .$V$

Якщо ви побудуєте закриту поверхню шляхом "згортання" секції труби та закриття обох кінців, додаючи об'єм , об'ємний витік повної поверхні дорівнює нулю, тому що потік в один кінець дорівнює і протилежний потоку в іншого кінця - тобто те, що йде в один кінець, повинно виходити з іншого кінця.$V$