2 - Стабільність вибухів транспортних засобів

Дана система, що описує взводи 2-х транспортних засобів, які можуть бути описані як такі:

• $ v_k $ швидкість кожного транспортного засобу
• $ s $ проміжок між транспортними засобами.

Ми можемо описати стан системи як:

• $ {s} = v_0 - v_1 $
• $ точка {v_k} = u_k $

Отже, написання стану системи як $ x = (v_0, s, v_1) ^ T $ дає наступне рівняння стану: $$ dot {x} = Ax + Bu $$ з: $ A = початок {pmatrix} 0 & amp; 0 & amp; 0. 1 & amp; 0 & amp; -1. 0 & amp; 0 & amp; 0 end {pmatrix} $ , $ B = mathbb {1} $ .

Власні значення $ A $ є всі $ 0 $ , тому система повинна бути незначно стабільною.

Втім, мені здається, що брати будь-яку $ v_1 neq v_0 $ як дає початкові умови $ s \ t тому $ x $ не обмежена, тому вона не є незначно стабільною.

Де я помиляюся?

Ваша система насправді не є незначно стабільною. Її можна перевірити за умовою тут на Вікіпедії

Якщо система знаходиться в просторі представлення, то гранична стабільність може   проаналізувати, виводячи звичайну форму Йордану: якщо і тільки якщо   Іорданські блоки, що відповідають полюсам з нульовою реальною частиною, є скалярними   система незначно стабільна.

Ви можете знайти звичайну форму Йордану з функцією MATLAB $ text {jordan ()} $ , що дає

$$ стартує {bmatrix} 0 & 1 і 0, 0 & amp; 0 & amp; 0: 0 & amp; 0 & amp; 0

Відповідні Йорданські блоки є $ {begin {bmatrix} 0 & amp; 1 \ _ 0 & amp; 0 end {bmatrix} $ і $ 0 $ . Очевидно, що перший Йорданський блок не є скалярним, а матрицею 2х2.

Таким чином, система не є незначно стабільною.

Ви також можете бачити його, знаходячи власні значення і відповідні власні вектори, виявляється, що одне з власних значень має кратність 2, що порушує умову за посиланням вище.

і всі полюси з нульовою реальною частиною є простими коріннями