Скільки часу потрібно, щоб пил осідав з повітря?

Для того, щоб зробити це керованим питанням, додамо кілька спрощень.

Частинки пилу можна добре охарактеризувати як рівномірні сфери радіусу та щільності . $R$ $\rho$
Простір закритий і немає об'ємного потоку, тобто повітря все ще знаходиться в макроскопічному сенсі.
Повітря знаходиться при стандартній температурі та тиску (STP) ; і . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

За цих умов, який час осідання частинок пилу? При якому розмірі / щільності броунівський рух повітря набуває важливого значення?

fluid-mechanics air-quality

— Кріс Мюллер
джерело

Відповіді:

Час осідання твердих частинок на повітрі в основному залежить від розміру частинки. Залежно від того, про який розмір ви говорите, різні сили стають значущими, тому важко дати відповідь, яка є одночасно стислою та точною.

Я зроблю все можливе, щоб синтезувати важливі моменти, а не папугу посиланням; з цього приводу, що стосується практичних застосувань у галузі якості повітря, то текст, який я рекомендую, - це контроль забруднення повітря Cooper & Alley . Зокрема, я збираюся витягнути багато деталей для цієї відповіді з розділу 3.3: Поведінка частинок у рідинах.

Огляд гравітаційного врегулювання

Пил не поводиться як кулька Галілея для боче ; дрібні частинки різної величини падають з різною швидкістю. Для твердих частинок зміна швидкості осідання обумовлена, головним чином, впливом сил тягу.

Ви можете очікувати, що броунівський рух буде "жонглювати" дуже маленькими частинками навколо, не даючи їм осісти. Досить дрібні пилові частинки можуть залишатися захопленими нескінченно, але, практично кажучи, це має більше спільного з повітрям, не будучи ідеально нерухомим, ніж це з броунівським рухом. У контексті якості повітря ми дбаємо про броунівський рух, головним чином, враховуючи вплив (наприклад, на краплі води у вологому скрубері ПМ ) або осадження (наприклад, на листках біля проїжджої частини ). Жоден із цих механізмів не стосується чистого гравітаційного осідання.

$d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1.257 + 0.40 \exp (- 0.55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Щодо того, що насправді означає "досить маленький", текст Cooper & Alley говорить:

Для частинок менше 1 мкм коефіцієнт корекції ковзання завжди значний, але швидко наближається до 1,0, оскільки розмір частинок збільшується вище 5 мкм.

Це може бути достатньою обґрунтуванням, щоб шкодувати себе часу або циклів обробки, необхідних для обчислення поправочного коефіцієнта, коли все, що вас хвилює, - відносно великі частинки.

Рівняння руху

Ми можемо отримати рівняння руху в одному вимірі наступним чином.

$m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
$m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{a i r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
$V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

$\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* Система координат для цього прикладу визначена таким чином, що швидкість падіння є додатною.}

Термінальна швидкість

$\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

$t = 4 \tau'$

Більший пил

Це все добре і добре для меншої кількості пилу, але як бути з більшими штуками, які потрапляють у ваші очі і змушують кашляти? Ну, погані новини від Cooper & Alley:

Для частинок, більших за 10–20 мкм, що осідають зі своєю кінцевою швидкістю, число Рейнольдса є занадто високим, щоб аналіз режиму Стокса був достовірним. Для цих більших частинок необхідні емпіричні засоби для отримання швидкості осідання ...

"Емпіричний засіб" - це приємний спосіб сказати, чи з’ясувати це самостійно, або звикнути до читання діаграм, на яких побудовані криві з потворними десятковими показниками до результатів попереднього експерименту.

— Повітря
джерело

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{particle} - ρ_{air})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Я знайшов більш точні дані для частинок різного радіусу, наведених у періодах напіврозпаду; трохи більше даних тут .

Графік часу встановлення для вугілля, заліза і цементу наведено тут , додатково ілюструє нелінійну зворотну, експоненціальна залежність між радіусами пилу і часу осадження.

Теорія осідання застосовується тут до сонячних туманностей. Я не впевнений, скільки саме формули можна застосувати тут, але деякі можуть бути корисними.

t = \frac{ρ_{dust}}{ρ_{air}} \frac{R}{v_{thermal}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$

v_{thermal} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{particle}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
джерело

Ви починаєте з "для окремої частинки ...". Чи справедлива ідея і для густого туману частинок?

— Триларіон

@Trilarion Так, але вам доведеться робити різні розрахунки для кожного з них.

— HDE 226868

@Air Whoops, виправив математику. Що я мав на увазі під висотою, це те, що просто знання термінальної швидкості не дозволить вам обчислити час поселення; потрібно знати початкові умови.

— HDE 226868

Правда. Ці слайди туманності дійсно цікаві. Вони викликають ще одне обмеження підходу "рівномірної сфери", який полягає в тому, що частинки субмікрон мають тенденцію поєднуватися між собою, утворюючи більші субмікронні та дрібні частинки. Деякі з них є також реактивними або утворюються з попередників у повітрі. Безліч складностей, а також велика кількість поточних досліджень.

— Повітря

@Air З огляду на те, як сильно я люблю астрофізику, і конкретну область - сміттєві диски - вивчали, було несподіванкою дізнатися щось нове при дослідженні чогось зовсім іншого, якості повітря.

— HDE 226868