Я намагався знайти момент області про точку А на наступному малюнку:
Я вважаю за краще використовувати інтеграцію, оскільки вона може бути розширена до різних форм, і зробила це:
int _ {- 25} ^ {25} int _ {- 23} ^ {35} y dy dz = -17400 mathrm {mm} ^ 3 $
Однак рішення, яке я отримав, говорить, що $ Q_z = 17400: mathrm {mm} ^ 3 $
Це змусило мене замислитися про дві речі:
Який сенс знаку (якщо є)?
Що я зробив неправильно у своєму розрахунку (так званий "Що я тут не розумію?")
Відповіді:
Який сенс знаку (якщо є)?
Немає фізичного сенсу, пов'язаного з негативним знаком у вашому результаті; це просто означає, що ви отримали математику неправильно.
Інтегральне визначення першого моменту області становить $ iint_A {r (y, z), dA} $, або сума по всій площі поперечного перерізу добутку елемента диференціальної області та її перпендикулярної відстані від Ось як область, так і відстань у цьому сенсі є концептуально невід'ємними скалярами, незалежно від того, на якій стороні осі ви знаходитесь, тому ваша відповідь завжди повинна бути невід'ємною.
Що я зробив неправильно у своєму розрахунку (так званий "Що я тут не розумію?")
Знак вашої відповіді - не єдина проблема.
Якщо ви збираєтеся пройти процес інтеграції, ви повинні бути обережні, щоб використовувати належну функцію відстані $ r (y, z) $, яка в даному випадку є Евклідова відстань .
У випадку, коли ваша ось, що представляє інтерес, паралельна одній координатній осі, ваша функція відстані інваріантна відносно цієї осі. Якщо ви визначаєте ваші координатні осі, як показано на малюнку, з походженням на центроїд області, то координати точки $ A $ складають $ (- 23,20) $, а ваша функція відстані просто одновимірна евклідова відстань між елементом диференціальної області з висотою $ y $ і висотою $ y_A $ лінії, паралельної осі z, яка містить точку $ A $:
$$ r (y, z) = | y-y_A | = | y + 23 | $$
Ваш інтеграл зараз:
$$ Q_z = iint limit_A | y + 23 | dA $$
Все, що залишилося, визнаючи, що $ dA = dy dz = dz dy $, - це визначити межі інтеграції. З походженням на центроїді, як на малюнку, межі інтеграції є межами області:
$$ Q_z = int _ ліміти _ {- 25} ^ {25} int-ліміти _ {- 35} ^ {35} | y + 23 | dy dz $$
Важко сказати точно які ваші помилки були, не бачачи покрокових розрахунків. Можливо, коли ви розділяєте абсолютне значення на його кусочне визначення, ви забули другий термін? Альтернативний підхід полягає в тому, щоб перевизначити початок у $ A $, в цьому випадку ваша функція відстані буде майже правильною, але ви повинні були б перерахувати y-межі інтеграції.
Відповідь буде такою ж, де б ви не поклали початок.
* Рівняння, яке я написав тут, є загальною двовимірною формою, де цікава вісь не обов'язково є паралельною будь-якій координатної осі.