Диференціальні рівняння (спрощеного) навантажувального моста

10

У мене виникають проблеми з розрахунком диференціальних рівнянь спрощеного навантажувального моста.

Система побудована так, як показано на малюнку нижче (лише ескіз):

Якщо я використовую підхід Ньютона, я отримую такі рівняння, нехтуючи тертям, опором повітря та зміною довжини мотузки:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Коли я дивлюся на кінематичні зв’язки із захвату (коло з вагою ), я отримую такі рівняння. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Я знаю ваги і і довжину але значення зараз не важливі. $m_k$ $m_G$ $l$

Мета - мати два диференціальних рівняння в кінці. Одне рівняння буде показано співвідношення між рушійною силою і шляхом візки (з диференціювання) інше рівняння буде показано співвідношення між рушійною силою і кутом мотузки . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Після цього я хочу зробити функції передачі (перетворення Лапласа тощо), але це не проблема.

Проблема в тому, що я не можу знайти ці рівняння. Мій найкращий підхід поки що виглядає так:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Так що це означає, якщо

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - м_{Г} {\ddot{х}}_{Г}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Я можу сказати:

м_{к} {\ddot{х}}_{к} = Ж_{А} - м_{Г} {\ddot{х}}_{Г}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

і якщо я отримаю так: $x_{G}$

х_{Г} = х_{к} + л гріх (φ) {\dot{х}}_{Г} = {\dot{х}}_{к} + л \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{х}}_{Г} = {\ddot{х}}_{к} + л [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} гріх (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Я насправді застряг тут, бо не можу знайти спосіб усунути з рівнянь. Теореми додавання мені зовсім не допомагають (або я їх правильно використовую). $\varphi$

Хтось має уявлення про те, як я повинен продовжувати в цей момент? Я сподіваюся, що мені не потрібно повного рішення. Мені насправді більше цікаво робити це сам і сподіваюся наштовхнутись у правильне русло.

— тлп
джерело

5

Я здогадуюсь, що вам, мабуть, потрібне інше диференціальне рівняння для кутового руху, яке буде включати інерцію, наприклад:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

який дає:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Тоді, можливо, ви можете використовувати наближення малих кутів:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Перегляньте приклад перевернутого маятника .

— am304
джерело

Особливо перевернутий маятник дуже допомагає ... спасибі за це - я не думав про це

— tlp

6

Кінематика та динаміка

Це кроки до вирішення подібних проблем.

Проаналізуйте кінематику системи.

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

$R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Прийняття похідних часу:

$\hspace{5.em}$ = $\dot{x_{G}}$ $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ = $\ddot{x_{G}}$ $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Використовуйте рівняння Ньютона:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Заміна : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Для осі z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Використовуйте другий закон Ньютона для обертання:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Використання ідентичностей тригонометрії:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

$\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
джерело