Як визначити характеристичну довжину в обчисленнях числа Рейнольда в цілому?

Я розумію, що число Рейнольдса задається виразом , де - щільність, - швидкість рідини і - динамічна в'язкість. Для будь-якої заданої проблеми динаміки рідини , і тривіально задані. Але яка саме характерна довжина ? Як саме я це обчислюю? Що я можу використовувати із заданої проблеми, щоб автоматично визначити характеристичну довжину? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Пол
джерело

Чи можете ви пояснити, чому Reynoldsnumber - це подібність, яка описує вашу проблему потоку?

— rul30

Відповіді:

Я хотів би підійти до цього питання з математичної точки зору, яка може бути плідною, як обговорювалося в деяких коментарях та відповідях. Дані відповіді корисні, проте я хотів би додати:

Загалом найменша шкала доступної довжини - це характерна шкала довжини.
Іноді (наприклад, у динамічних системах) не існує фіксованої шкали довжини, яку можна вибрати як характерну шкалу довжини. У таких випадках часто можна знайти динамічну шкалу довжини.

Характерні масштаби довжини:

TL; DWTR: для,характерний масштаб довжини; для,являє собою характерний масштаб довжини. Це означає, що менша шкала довжини - це, як правило, характерна шкала довжини. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Розглянемо випадок трубопроводу, обговорений в інших відповідях; є радіус а також довжина труби. Зазвичай ми приймаємо діаметр труби за характерну шкалу довжини, але чи завжди це так? Що ж, давайте розглянемо це з математичної точки зору; давайте визначимо безрозмірні координати: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Тут, , , , є - координат і швидкість ваг , але не обов'язково їх характерні масштаби. Зверніть увагу, що вибір шкали тиску справедливий лише для . Випадок вимагає зміни масштабу. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Перетворення рівняння безперервності у безрозмірні величини:

\nabla \cdot у = 0 \to \partial_{\bar{х}} \bar{у} + \partial_{\bar{у}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

що може бути лише тоді, коли ми припустимо або . Знаючи це, число Рейнольдса може бути переосмислено: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R е = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R е}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Аналогічно перетворимо рівняння Нав'є-Стокса ( -компонент лише для того, щоб він був коротким): Ми бачимо тут число Рейнольдса, що природньо виникає як частина процес масштабування. Однак, залежно від геометричного відношення , рівняння можуть вимагати масштабування. Розглянемо два випадки: $x$

у \cdot \nabla у = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ у

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{у} \partial_{\bar{х}} \bar{у} + \bar{v} \partial_{\bar{у}} \bar{у} = - \partial_{\bar{х}} \bar{p} + \frac{1}{R е} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{х}}^{2} \bar{у} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{у}}^{2} \bar{у}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Радіус труби набагато менший за довжину труби (тобто ): $R/L\ll1$

Потім перетворене рівняння звучить так: Тут ми маємо проблему, оскільки термін може бути дуже великим, а правильне масштабне рівняння має лише коефіцієнти або менші. Отже, нам потрібно змінити координату , швидкість і тиск:
$\bar{у} \partial_{\bar{х}} \bar{у} + \bar{v} \partial_{\bar{у}} \bar{у} = - \partial_{\bar{х}} \bar{p} + \frac{1}{R е} \frac{L}{R} \partial_{\bar{у}}^{2} \bar{у}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{х} = \bar{х} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Цей вибір перерахованих величин гарантує, що рівняння безперервності залишається у формі: Нав'є-Стокса рівняння в перерахунку на величини виходу: який правильно масштабується коефіцієнти або менші, коли ми беремо значення . Це вказує на те, що шкала тиску не потребує масштабування, але масштаби довжини та швидкості були перероблені: $\partial_{\hat{х}} \bar{у} + \partial_{\bar{у}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{у} \partial_{\hat{х}} \bar{у} + \hat{v} \partial_{\bar{у}} \bar{у} = - \partial_{\hat{х}} \hat{p} + \frac{1}{R е} \partial_{\bar{у}}^{2} \bar{у}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{х} = \bar{х} \frac{L}{R} = \frac{х}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ і ми бачимо , що характерна довжина і масштаб швидкості для відповідно і НЕ і , як передбачається , на початку , але і . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Радіус труби набагато більший, ніж довжина труби (тобто ) $R/L\gg1$ :

Потім перетворене рівняння звучить так: Так само, як і в попередньому випадку, може бути дуже великим і вимагає масштабування. За винятком цього часу, нам потрібно змінити координату , швидкість і тиск: Цей вибір перемальованих величин знову гарантує, що рівняння безперервності залишається у формі:
$\bar{у} \partial_{\bar{х}} \bar{у} + \bar{v} \partial_{\bar{у}} \bar{у} = - \partial_{\bar{х}} \bar{p} + \frac{1}{R е} \frac{R}{L} \partial_{\bar{х}}^{2} \bar{у}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{у} = \bar{у} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{у}{L} \hat{у} = \bar{у} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{х}} \hat{у} + \partial_{\hat{у}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Рівняння Нав'є-Стокса у відношенні перерахованих величин дають: який правильно масштабується з коефіцієнтами або менші, коли візьмемо значення . Це вказує на визначення довжини, швидкості та шкали тиску: $\hat{у} \partial_{\bar{х}} \hat{у} + \bar{v} \partial_{\hat{у}} \hat{у} = - \partial_{\bar{х}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R е}} \partial_{\bar{х}}^{2} \hat{у}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{у} = \bar{у} \frac{R}{L} = \frac{у}{L} \hat{у} = \bar{у} \frac{L}{R} = \bar{у} \frac{U}{V} = \frac{у}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ і ми бачимо, що характерні масштаби довжини, швидкості та тиску відповідно , і не , , як передбачається на початку, але , і . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

У разі , якщо ви забули точку цього все: для , характерний масштаб довжини; для , являє собою характерний масштаб довжини. Це означає, що менша шкала довжини - це, як правило, характерна шкала довжини. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Ваги динамічної довжини:

Розглянемо дифузію виду в напівнескінченну область. Оскільки воно нескінченне в одному напрямку, воно не має фіксованої шкали довжини. Натомість масштаб довжини встановлюється 'граничним шаром', який повільно проникає в область. Ця "довжина проникнення", оскільки характеристична шкала довжини іноді називається, дається як:

δ (т) = \sqrt{π D т}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

де - коефіцієнт дифузії, а - час. Як видно, не існує жодної шкали довжини оскільки вона повністю визначається дифузійною динамікою системи. Для прикладу такої системи дивіться мою відповідь на це питання. $D$ $t$ $L$

— nluigi
джерело

Що саме ви маєте на увазі під наявними, коли ви говорите "найменша шкала доступної довжини"? Що саме визначає, що є, а що ні?

— Пол

@Paul "доступний" мався на увазі щодо очевидних масштабів геометричної довжини, таких як довжина, висота, ширина, діаметр тощо. Це на відміну від масштабів динамічної довжини, які є менш очевидними і визначаються динамікою системи.

— nluigi

Чи є якесь конкретне обґрунтування для загального використання "найменшої доступної довжини" на відміну від будь-якої іншої доступної довжини?

— Поль

@Paul Градієнти, як правило, найбільші там, тому більша частина транспорту відбувається в масштабах невеликої довжини

— nluigi

дякую за те, що ви зробили це. Ідк, якщо його праве тхо

— Ден Пауерс

Це практичне, емпіричне питання, а не теоретичне, яке можна «вирішити» математикою. Один із способів відповісти на це - почати з того, що фізично означає число Рейнольдса: він представляє співвідношення між "типовими" силами інерції та в'язкими силами в потоці поля.

Отже, ви дивитесь на типову схему потоку і вибираєте найкраще вимірювання довжини, щоб представити це співвідношення сил.

Наприклад, в потоці по круглої трубі в'язкі (зсувні) сили залежать від профілю швидкості від осі труби до стінок. Якщо швидкість по осі труби залишиться однаковою, подвоєння радіусу (приблизно) вдвічі скоротить швидкість зсуву між віссю та стінками (де швидкість дорівнює нулю). Тож радіус або діаметр - хороший вибір характерної довжини.

Очевидно, що Re буде відрізнятися (з коефіцієнтом 2), якщо ви виберете радіус чи діаметр, тому на практиці кожен робить один і той же вибір, і кожен використовує однакове критичне значення Re для переходу від ламінарного до турбулентного потоку. З практичної інженерної точки зору розмір труби визначається її діаметром, оскільки саме це легко виміряти, тому ви також можете використовувати діаметр для Re.

Для труби, яка є приблизно круглою, ви можете вирішити (подібним фізичним аргументом), що окружність труби є дійсно найважливішою довжиною, і тому порівняйте результати з круговими трубами, використовуючи "еквівалентний діаметр", визначений як (окружність / пі).

З іншого боку, довжина труби не має особливого впливу на структуру потоку рідини, тому для більшості цілей це буде поганим вибором характерної довжини для Re. Але якщо ви розглядаєте потік у дуже короткій «трубі», де довжина набагато менша за діаметр, то довжина може бути найкращим числом, яке використовується як параметр, що описує потік.

— алефзеро
джерело

Я не згоден з вашим твердженням, що математика тут не може допомогти. Описана вами процедура не буде корисною у багатьох випадках без очевидних масштабів довжини, таких як граничний шар. Це питання є під рукою. Розмірний аналіз керуючих рівнянь виявився досить корисним у пошуку відповідних масштабів довжини в ламінарних та турбулентних прикордонних шарах, наприклад, масштабуванні товщини ламінарного прикордонного шару та масштабах в'язкої довжини відповідно. Масштабування теплових пластів - це ще один випадок, коли набагато менш очевидно, як зробити запропонований вами аналіз, але мірний аналіз допомагає.

— Бен Треттел

@BenTrettel - Я погоджуюся, що розмірний аналіз може значно допомогти у визначенні характерної шкали довжини. Дивіться мою відповідь на "простий" приклад.

— nluigi

Існує три основні способи визначити, які групи термінів (більш загальні, ніж просто масштаб тривалості чи часу) є релевантними. Перший - це математика, яка може включати аналітичну проблему чи аналогічну чи відповідну проблему, а також бачити, які терміни з'являються, і робити вибір, який спрощує речі, як це доречно (докладніше про це нижче). Другий підхід - шляхом спроб і помилок, більш-менш. Третій - це прецедент, як правило, коли хтось у минулому вже робив якийсь раніше згаданий аналіз у цій проблемі або пов'язаний з ним аналіз.

Існує ряд способів теоретичного аналізу, але одним із корисних в інженерії є нерозмірні правила керування рівняннями. Іноді характерна довжина очевидна, як це має місце в трубопроводі. Але в інших випадках очевидних характерних довжин немає , як це має місце у вільних потоках зсуву чи прикордонному шарі. У цих випадках ви можете зробити характеристичну довжину вільною змінною та вибрати ту, яка спрощує проблему . Ось кілька хороших зауважень щодо недименсіоналізації , які містять такі пропозиції щодо пошуку характерних масштабів часу та довжини:

(завжди) Зробіть якомога більше нерозмірних констант, рівних одиниці.

(зазвичай) Зробіть константи, що з'являються в початкових або граничних умовах, рівними одиниці.

(як правило) Якщо є незмірна константа, яка, якщо ми встановимо її рівній нулю, значно спростить проблему, дозволить їй залишатися вільним, а потім побачить, коли ми можемо зробити її маленькою.

Інший головний підхід - це вирішити проблему повністю і побачити, які групи термінів з'являються. Як правило, відповідна тривалість очевидна, якщо ви захоплюєте термін із цього типу теоретичного аналізу, хоча подібний аналіз часто простіше сказати, ніж зробити.

Але як ви можете визначити хорошу довжину, якщо у вас немає теоретичного аналізу, на який можна піти? Часто не має великого значення, яку довжину ви виберете. Деякі люди, здається, вважають це заплутаним, оскільки їх вчили, що перехід турбулентності відбувається в 2300 (для труби) або 500000 (для плоскої пластини). Визнайте, що у корпусі труби не має значення, вибираєте діаметр чи радіус. Це просто масштабує критичне число Рейнольдса в два рази. Немає значення - переконатися, що будь-які використовувані вами критерії відповідають визначенню числа Рейнольдса, який ви використовуєте, та проблемі, яку ви вивчаєте . Це традиція, яка диктує, що ми використовуємо діаметр для трубних потоків. $Re$

Крім того, щоб бути загальним, аналіз або експерименти можуть запропонувати інше число, скажімо, число Біота, яке також має в ньому "характерну довжину". Процедури в цьому випадку ідентичні тим, що вже згадувалося.

Іноді можна зробити евристичний аналіз, щоб визначити відповідну довжину. У прикладі числа Біота ця характеристична довжина зазвичай задається як об'єм предмета, поділений на його поверхню, оскільки це має сенс для проблем передачі тепла. (Більший об'єм = повільніше передача тепла до центру та більша площа поверхні = швидший передача тепла до центру.) Але я думаю, що це можна отримати з певних наближень. Ви можете зробити подібний аргумент, виправдовуючи гідравлічний діаметр .

— Бен Треттел
джерело

Якщо я вибираю L довільно, і проблема є неканонічною, так що режими потоку та аналітичні рішення апріорі не відомі, то проба та помилка - це справді єдиний шлях?

— Пол

Я не думаю, що так. Можливо, ви зможете отримати щось корисне, недименціонізувавши відповідні керуючі рівняння з довільною шкалою довжини та часу. Це, як правило, перший мій крок, коли я аналізую проблему з чіткими керуючими рівняннями, але без чіткої шкали тривалості чи часу. Якщо ви плутаєтесь, як це зробити у вашому конкретному випадку, опублікуйте це як запитання тут, і я дам йому постріл.

— Бен Треттел