Чому ми можемо нехтувати інерційним (але не в'язким) терміном у Нав'є-Стокса при малому потоці та високій в'язкості?

Повне Нав'є-Стокса: $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Інерційний термін: . $\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

І як ми припускаємо стаціонарний потік і низьку швидкість: . І тому випливає, що інерційний термін можна ігнорувати. $\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Однак у моєму матеріалі також зазначено, що буде домінуючим терміном під час цих обставин. Чому не буде так, що також? $\mu \nabla ^2 \vec{v}$ $\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

fluid-mechanics chemical-engineering

— Рауль
джерело

Чи можете ви цитувати книгу / документ / тощо. що висунуло цю претензію? Це допоможе побачити це в контексті.

— Карлтон

Навчальний посібник - "Основи імпульсу, теплоти та масопередачі" Велті, Роррера та Фостера. На жаль, це проблема в документі з проблемної практики на шведській мові, тому я не впевнений, чи допоможе це.

— Раул

У мене є 4-е видання цієї книги (англійська версія). Подивлюсь і побачу, чи пояснюють вони більше.

— Карлтон

Це досить суттєва помилка / помилка щодо стану і я можу зрозуміти вашу плутанину щодо другого похідного! Якщо проблему з практикою

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

— вирішують

@nluigi Я не бачу, звідки ви отримуєте з питання про ОП, або навіть, що означає це вираз. Що таке і , і що таке диференціальний wrt?

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

β

$\beta$

α

$\alpha$

— Асад Саедюддін

Відповіді:

Зазвичай, мається на увазі низький витрата і висока в'язкість, це те, що ми маємо справу з так званим низьким потоком чисел Рейнольдса. Число Рейнольдса - це безрозмірне число, яке є співвідношенням інерційних сил ( ) та в'язкої сили ( ): Для низьких в'язких сил переважають (ламінарний режим), а для високих інерційні сили домінують (турбулентний режим). Числа без розмірів, такі як $\rho U U$ $\mu U/L$

R e = \frac{ρ U U}{μ U / L} = \frac{ρ U L}{μ}

$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$ проявлятись природним шляхом через процес, відомий як "масштабування", в якому рівняння робляться невимірними; завдяки цьому процесу можна сказати, які терміни є мізерними на основі значень відповідних безрозмірних чисел. Для отримання додаткової інформації перевірте мою відповідь на це питання.

Технічно сказати, що "низький потік і висока в'язкість" недостатньо, щоб сказати, що ми маємо справу з низьким потоком оскільки це також залежить від шкали довжини (зазвичай діаметр труби тощо) і щільності (повітря або води ), але зазвичай мається на увазі, що саме так. $\mathrm{Re}$ $L$ $\rho$

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\approx0$ $\partial_\beta u_\alpha$ $\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$ $L$ $\mathrm{Re}$ $O(U)$ $\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$ показує, що вони будуть ще більш значущими. Отже, причина, чому інерційні умови є незначними, але в'язкими - не.

— nluigi
джерело

$\nabla ^2 \vec{v}$ $|\vec{v}|$ $v$ $w$ $u$

$u$ $\nabla u$ $\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$

— Асад Саедюддін
джерело