Скільки часу потрібно для двох спочатку відокремлених рідин, щоб досягти певної однорідності по всьому контейнеру?

Уявіть таку початкову умову:

Два повністю змішуються з водою рідини A і B з різними динамічними вязкостямі і поділяються в контейнер з фіксованим обсягом і довжиною . Температура постійна в контейнері, час . Масова частка в цей момент часу є ступеневою функцією (або зручним наближенням до неї), як показано на ескізі нижче. $\eta_A$ $\eta_B$ $V_0$ $L$ $T_e$ $t_0=0$ $w_B(x)$

Маючи на увазі ці визначення, який час при якому масова частка знаходиться в межах від його рівноважного значення у всьому контейнері? $t_m$ $w_B$ $\pm \delta \%$

Перше, що прийшло в голову, - рівняння дифузії: Звідси мені, мабуть, "просто" потрібне наближення для і розв'язати диференціальний рівняння. Це правильний напрямок? Які наближення були б доречними?

\frac{\partial ϕ (r, t)}{\partial t} = \nabla \cdot [D (ϕ, r) \nabla ϕ (r, t)]

$\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\mathbf{r}) \ \nabla\phi(\mathbf{r},t) \big]$

D (ϕ (r, t))

$D(\phi(\mathbf{r},t))$

Рівняння Сток-Ейнштейна дозволяє мені обчислити : але я не знаю радіус . Я просто не знаю, як рухатись далі. $D$

D = \frac{k_{B} \cdot T}{6 π \cdot η \cdot r}

$D = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{6 \pi \cdot \eta \cdot r}$

r

$r$

fluid-mechanics diffusion

— Джон ХК
джерело

Зазвичай число Шмідта для рідин становить близько 1 для газів і 1000 для рідин. Зважаючи на в'язкість, ви можете оцінити коефіцієнти дифузії, які я думаю.

— nluigi

@nluigi Ну, я думаю, я спробую це. Якщо отриманий час знаходиться в порядку величини реального часу, його має бути достатньо як оцінка.

— Джон ХК

Ви, швидше за все, зможете зробити аналіз лише до інженерної точності (в порядку величини точної відповіді). Чи можете ви припустити добре змішаність відсіків? Це також значно спростить проблему.

— nluigi

Так, я припускаю, що вони повністю змішуються.

— Джон ХК

Гаразд, але змішування в відсіках йде швидко? Тоді ви можете написати баланс на зразок: та подібний для та вирішити для концентрацій.

\frac{d c_{1}}{d t} = - k_{1} a (c_{1} - c_{2})

${dc_1 \over dt}=-k_1a(c_1-c_2)$

c_{2}

$c_2$

— nluigi

На це питання важко відповісти загалом.

Деякі моменти, які слід врахувати:

Відмінність у щільності призведе до того, що одна рідина буде протікати під іншою, це стане мені швидше або повільніше залежно від їх відносної густини. Це негайно вносить деяку енергію в систему. Але їх в'язкість також вплине на те, як це впливає на змішування. Наприклад, якщо у вас була вода та етанол, як казковий густий, низької в'язкості та змішуваного, ви можете уявити, що у вас буде минуща турбулентність, оскільки один протікає нижче іншого, що прискорить багато змішування.
Конвекція: будь-які невеликі перепади температури / тиску між рідинами створюватимуть струми та хвилі тиску, які можуть прискорити змішування.

У чомусь це виходить за межі інженерного питання, оскільки наближення, необхідні для «ідеальної» відповіді, абсолютно нереалістичні. Для мене це суто математична вправа, а не інженерія.

З точки зору ідеальних газів ви, мабуть, не дивитесь на середній час, який потрібно, щоб молекула газу переходила з однієї сторони на іншу, тому компонент середньої швидкості по осі x як функція температури дав би вам деякий наближення. Хоча умови для двох рідин (часті зіткнення) порівняно з двома газами низького тиску (кілька зіткнень можуть дати різні результати)

— Кріс Джонс
джерело