Відповідь системи на функцію кроку (функція Heaviside)

Я хотів би обчислити відповідь на ступінчасту функцію електричної / теплової системи. Як правило, я можу "легко" обчислити функцію передачі : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Оскільки перетворення Фур'є ( ) функції Heaviside є (обчислюється WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Отже, відзначаючи зворотне перетворення Фур'є: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Щоб перевірити свою математику, я спробував обчислити відповідь для простої системи RC:

Я повинен отримати добре відомий заряд конденсатора. Функція передачі:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Обчислюючи зворотне перетворення Фур'є ( ) з WA ( ), я отримую: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Це було б правильно, якби ми йшли назад у часі: /. Отже, питання ... Що я роблю неправильно?

Я робив те саме, використовуючи Laplace Transforms, і все працює добре ... Але я не розумію, чому.

PS Я не хочу іншого методу, я просто хочу зрозуміти, що не так у моєму підході.

PS Причина, чому я використовую WA, полягає в тому, що для моєї складнішої системи мені потрібно обчислити перетворення Фур'є за допомогою WA.

— Світове світло
джерело

Це не відповідь, яку ви шукаєте, але ця стаття про те, як зробити дискретну зворотну трансформацію Лапласа практично для будь-якої функції передачі, може зацікавити вас.

— user5108_Dan

Дякую за цікаве посилання! Я все ще намагаюся зрозуміти, для чого потрібні трансформації Лапласа. Або ще краще, чому перетворення Фур'є не працюють ...

— Worldsheep

Чи знайомі ви з трансформаторами Лапласа? Трансформи Лапласа та Фур'є досить схожі, але я недостатньо хороший математик, щоб описати точні відмінності. EE, як правило, працює в s домені (перетворення Лапласа), який був би таким же, як і рівняння H (w), якщо ви заміните jw на s. Крім того, ви, мабуть, отримаєте кращу відповідь, якщо опублікуєте це питання на сайті dsp.stackexchange.com. Ці хлопці налаштовані на цей матеріал.

— user5108_Dan

Так, я помітив, що EE завжди працює з Лапласом у цих випадках, і коли я пробував це, він працював чудово! Але інтуїтивно я використовував би Фур'є. Я буду дотримуватися вашої поради і завітаю на інший сайт!

— Worldsheep

Ви можете знайти відповідь на це запитання тут: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Основна причина, ймовірно, пов'язана з тим, що Вольфрам Альфа застосовує зворотне перетворення Фур'є як другу перетворення Фур'є. Фактично, це "перевертає час" - як це можна показати математично :

Визначення '' 'оператора фліп-часу' '' який інвертує час, $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Якщо застосувати трансформацію фур'є 3 рази до системи, ви отримаєте версію в звичайний час. Оскільки хвилі послідовні, це зазвичай не має значення.

— Позначити
джерело