Заява
У кривошипной системі, як описано на малюнку, ми знаємо значення: ширини шатуна ($ m $), ширини кривошипа ($ b $), крутного моменту в кривошипі ($ M $) \ t і кутова швидкість $ омега $, яку ми застосовуємо до цього моменту. Ми хочемо знати силу результату ($ F_2 $) системи.
Примітка: на діаграмі відсутній $ gamma $, що є кутом між $ F_1 $ і $ F $ . Крім того, $ F_1 $ і $ F $ погано намальовані; нижче вони повинні перевірити $ (1) $. Це просто помилка в діаграмі, а не концепція питання.
Рішення
Моя спроба була такою:
За діаграмою ми бачимо: старт {align} F_1 & amp; = F cos гама & amp; & amp; & amp; (1). frac {b} {гріх альфа} & amp; = frac {m} {гріх бета} & amp; & amp; (2). альфа + бета + гама + 90 & 180 & 180; F_2 & amp; = F_1 cos & amp; & amp; & amp; (4) end {align}
Поклавши $ (1) $ в $ (4) $: begin {align} F_2 = F cos gamma cos b & amp; (5) end {align}
Перш за все, нам потрібен зв'язок між $ cos beta $ і $ alpha $. Єдиним є $ (2) $, де ми можемо отримати $ cos beta $ у функції $ alpha $ шляхом ізоляції $ cos бета $ після застосування $ sin = beta = sqrt {1- \ t старт {align} frac {b} {гріх альфа} & amp; sin & amp; = frac {m> cdot sin alpha} {b}. sqrt {1 - cos ^ 2 бета} & amp; = frac {m \ _ cdot \ t 1 - cos ^ 2 бета & amp; = frac {m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha} {b ^ 2} nonumber. cos ^ 2 & amp; = frac {b ^ 2 - m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha} {b ^ 2} nonumber. cos & amp; = sqrt {frac {b ^ 2 - m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha} {b ^ 2}} nonumber. cos & amp; = frac {sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha}} {b} end {align}
Ставлячи це у $ (5) $: begin {align} F_2 = Fos cos \ t frac {sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha}} {b} & amp; (7) кінець {align}
Тепер нам потрібен зв'язок між $ gamma $ і $ alpha $. З $ (3) $ ми маємо get: alpha - 90 - alpha = 90 - alpha - beta & amp; (8) end {align}
Проте, ми хочемо $ gama $ тільки в функції $ alpha $, без $ beta $. Отже, ми знову переходимо до $ (2) $, щоб обчислити $ beta $ у функції $ alpha $. До Застосовуючи $ arcsin $, ми отримали: begin {align} beta = arcsin ліворуч (frac {m, cdot, sin alpha} {b} право) & amp; (9) end {align}
Отже, поклавши його в $ (8) $: begin {align *} гама = 90 - альфа - arcsin ліворуч (frac {m; cdot sin) alpha} {b} право) end {align *}
І покласти його всередину $ (7) $: begin {align *} F_2 = F cos ліва [90 - alpha - arcsin ліворуч (frac {m cdot \ t cdot frac {sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 cdot sin ^ 2 alpha}} {b} end {align *}
Ми навіть можемо йти далі. Ми знаємо, що $ cos (90 ^ \ _ Cir - x) = sin x $. Отже: begin {align} F_2 = F sin = alpha + arcsin ліворуч (frac {m cdot sin alpha} {b} право) право] cdot frac {sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 sin ^ 2 alpha}} {b} кінець {align}
Спрощення за допомогою Wolfram Alpha: begin {align *} F_2 & amp; = F \ t sin (alpha) sqrt {1- frac {m ^ 2} {b ^ 2} sin ^ 2 (альфа)} + frac {m} {b} sin {alpha} cos {alpha} праворуч) cdot frac {sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 г ^ 2 alpha}} {b} F_2 & amp; = F cdot sin alpha cdot frac {m альфа sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 ^ ^ ^ alpha} + b ^ 2 - m ^ 2 ^ ^ ^ ^ альфа} {b ^ 2} end {align *}
Нарешті, якщо ми хочемо виразити цю ідентичність у функції $ \ t $ t $ і $ M $ ми просто повинні замінити $ alfa $ на $ омега t $ і $ F $ на $ M / m $, так:
begin {align *} box {F_2 = frac {M} {m} cdot sin (омега t) frac {m cos (омега-т) sqrt {b ^ 2 -m ^ 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ sin ^ 2 (омега t)} {b ^ 2}} кінець {align *}
Питання
Чи правильно це рішення?
PS : мій рівень вивчення фізики досить низький, тому, будь ласка, обмежуйтеся цим рівнем складності.