Чому Мах 0,3 поріг, що розділяє стисливий та стисливий потік?

Я читав, що Мах 0,3 майже є верхньою межею для очищення повітря як нестислимої рідини. Читані нами джерела, здається, трактують це як даність, без доказів чи обґрунтування.

Чому це межа? Чи є для цього математичне обґрунтування? Також, чи стосується ця межа лише повітря? Якщо ні, то від чого залежить межа?

fluid-mechanics

— Пол
джерело

У Вікіпедії подано причину для Маха 0,3, оскільки це зумовлює ~ 5% зміни щільності.

Я знайшов сторінку NASA, яка описує (аналітично!) Відносини. Я цитував джерело, але я буду відтворювати твори для нащадків, якщо випадок змінить їх посилання.

Почніть із збереження імпульсу:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

де $\rho$ - щільність рідини, $V$ - швидкість, а $p$ - тиск. для ізоентропного потоку:

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

де $\gamma$ - питоме співвідношення тепла. Закон про ідеальний газ дає:

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

де $R$ - питома константа газу, а $T$ - абсолютна температура. Отже, підміняючи:

г p = γ R Т г ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Швидкість звуку можна обчислити:

γ R Т = а^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

де $a$ - швидкість звуку, так:

г p = а^{2} г ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Підставлення виразу вище в збереження рівняння імпульсу дає:

(ρ V) г V = - а^{2} г ρ - (\frac{V^{2}}{а^{2}}) г V / V = г ρ / ρ - М^{2} г V / V = г ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

$M$

Як зауваження, це ґрунтується на кількості Маха, що в свою чергу залежить від швидкості звуку в газі, тому воно автоматично регулюється на основі газу.

— Чак
джерело

@Paul це походить від збереження імпульсу. це не стільки «правило», скільки пропозиція. якщо вам не байдуже 10% (або вище) зміни щільності (або інших величин), продовжуйте використовувати і нестислимі співвідношення для великих чисел Маха. якщо ви робите турботи про невеликі зміни щільності, а потім використовувати стискувані відносини навіть при малих числах Маха

— costrom

Це не просто щільність. Коли ми недименсіоналізуємо рівняння, ми виводимо безрозмірні групи. Основне правило полягає в тому, що якщо безрозмірна група менше 0,1, ми можемо ігнорувати відповідні умови. У випадку числа Маха він відображається у квадраті. Отже, ми хочемо, щоб (число Маха) ^ 2 <0,1. Це приблизно дає 0,3. Це не лише щільність - в основному на всі речі, що змінюються з більшою швидкістю, буде впливати приблизно 10%, коли число Маха досягне 0,3.

— Джоель

@Joel - Що стосується контексту, то ОП запитувала про стисливість, саме тому ця відповідь покриває лише щільність.

— Чак

Я б зрозумів, що це не різка лінія розмежування. Якщо у вас нижча толерантність до помилок, починайте використовувати рішення, що стискається, за меншими номерами машин. Якщо вас не хвилює так багато, продовжуйте вважати, що компресивність при більшій кількості машин. 10% - це лише довільний вибір того, скільки помилок "насправді має значення", а 0,3 випадає з цього математично, але не менш довільно.

— панночки

@chuck - тут ниткоподібне, але трактувати щось як стиснену рідину означає, що я можу сказати, що розбіжність поля швидкості дорівнює 0. Це впливає набагато більше, ніж просто щільність - до того, що коли я йду на розмову і хтось каже він припускає, що його не стискає рідина, як правило, це не твердження про щільність.

— Джоель