MIMO (multi input - multi output) метод роз'єднання системи

Система MIMO з двома вхідними та двома способами роз'єднання виходу до системи SISO описана у багатьох статтях та книгах. Як щодо систем передачі розміру m * n ? Як ми можемо узагальнити метод, наприклад, для систем MIMO 3 * 3 або 3 * 7?

Ось опис системи MIMO 2 * 2:

з до форми $\mathrm{D_{11}(s)=D_{22}(s)=1}$

$D (s) = [\begin{matrix} D_{11} (s) & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & > D_{22} (s) \end{matrix}]$ $\mathrm{D(s)}=\begin{bmatrix} D_{11}(s) & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & > D_{22}(s) \\ \end{bmatrix}$
Тут ми вказуємо відокремлену відповідь та декупатор зі структурою в рівнянні

$G_{p} (s) D (s) = [\begin{matrix} G_{11} (s) & 0 \\ 0 & G_{22} (s) > \end{matrix}] [\begin{matrix} G_{11} (s) & G_{12} (s) \\ G_{21} (s) & > G_{22} (s) \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & 1 > \end{matrix}] >= [\begin{matrix} G_{11}^{*} (s) & 0 \\ 0 & G_{22}^{*} (s) \end{matrix}]$ $G_p(s)D(s)=\begin{bmatrix} G_{11}(s) & 0 \\0 & G_{22}(s) > \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \\ G_{21}(s) & > G_{22}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & 1 > \end{bmatrix} > = \begin{bmatrix} G^*_{11}(s) & 0 \\ 0 & G^*_{22}(s) \end{bmatrix}$
І ми можемо вирішити чотири рівняння в чотирьох невідомих, щоб знайти

$D_{12} (s) = - \frac{G_{12} (s)}{G_{11} (s)} D_{21} (s) => - \frac{G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 1} (s) = G_{11} (s) = - \frac{G_{12} (s) G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 2} (s) = G_{22} (s) = - \frac{G_{21} (s) G_{12} (s)}{G_{11} (s)}$ $D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)} \\ D_{21}(s) = > -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l1}(s) = G_{11}(s) = -\frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l2}(s) = G_{22}(s) = -\frac{G_{21}(s)G_{12}(s)}{G_{11}(s)}$

control-engineering aerospace-engineering systems-engineering

— lahidj
джерело

Вам потрібно шукати підручники з аналізу та синтезу мережі, наприклад, Куо, Брайан Д.О. Андерсон і Сумет Вонпанітлерд. Це не предмет, який сьогодні багато вивчають.

— Мій інший керівник

Я думаю, що ви шукаєте форму державного простору.

— leCrazyEngineer

Ця тема на математиці stackexchange може допомогти math.stackexchange.com/questions/1297659 / ...

— Jos

Я не можу дати вам рішення за допомогою функцій передачі. Однак я можу надати вам загальну форму, використовуючи представлення простору стану. Я зроблю це для квадратної системи, тобто кількість входів і виходів дорівнює. Для системи з входами та виходами вирішити проблему стає все більш брудно і набагато складніше. $n$ $m$

Система з виходами

\dot{x} = f (x) + g_{1} (x) u_{1} + \dots + g_{m} (x) u_{m}

$\dot{x}=f(x)+ g_1(x)u_1 + \ldots + g_m(x)u_m$

y_{1} = h_{1} (x), \dots, y_{m} = h_{m} (x)

$y_1 = h_1(x), \ldots, y_m = h_m(x)$

Перше введення Похідного бреху. Похідна брехні щодо або вздовж дорівнює Наприклад, використовується наступне позначення: $h$ $f$ $f$

L_{f} h (x) = \frac{\partial h}{\partial x} f (x)

$L_{f}h(x) = \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$

\begin{aligned} L_{g} L_{f} & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} g (x) \\ L_{f}^{2} h (x) & = L_{f} L_{f} h (x) & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} f (x) \\ L_{f}^{k} h (x) & = L_{f} L_{f}^{k - 1} h (x) & = \frac{\partial (L_{f}^{k - 1})}{\partial x} f (x) \end{aligned}

$\begin{split} L_g L_f &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}g(x)\\ L_f^2 h(x) &= L_f L_f h(x) &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}f(x)\\ L_f^kh(x) &= L_f L_f^{k-1}h(x) &= \frac{\partial (L_f^{k-1})}{\partial x}f(x) \end{split}$

Введення поняття відносного ступеня щодо кожного виходу. Розглянемо -й вихід та диференціюємо його стосовно часу: Цей вираз залежить від явно на щонайменше одному вході, якщо (для всіх ): Якщо Отже, -й вихід має відносний ступінь . $i$

{\dot{y}}_{i} = L_{f} h_{i} (x) + L_{g_{1}} h_{i} (x) u_{1} + \dots L_{g_{m}} h_{i} (x) u_{m}

$\dot{y}_i = L_fh_i(x) +L_{g_1}h_i(x)u_1 +\ldots L_{g_m}h_i(x)u_m$

x

$x$

(L_{g_{1}} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_{g_1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}h_i(x) \right)\neq (0,\ldots,0)$

i

$i$

k_{i} = 1

$k_i = 1$

Взагалі відносний ступінь на вихід якщо для всіх . $k$ $i$

(L_{g}, L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_g,L_f^{k_i-1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}L_f^{k_i-1}h_i(x)\right) \neq (0,\ldots,0)$

x

$x$

Система тепер лінійно вводиться і виводиться (отже, відокремлюється) при застосуванні наступних зворотних зв’язків при роз'єднанні матриця , вектор і новий вхідний вектор . Де .

u (x) = - A^{- 1} (x) N (x) + A^{- 1} (x) v

$u(x) = -A^{-1}(x)N(x)+A^{-1}(x)v$

A (x)

$A(x)$

N (x)

$N(x)$

v

$v$

A (x) = (\begin{matrix} L_{g_{1}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ L_{g_{1}} L_{f}^{k_{m} - 1} h_{m} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{F}^{k_{m} - 1} h_{m} \end{matrix}), N (x) = (\begin{matrix} L_{f}^{k_{1}} h_{1} (x) \\ ⋮ \\ L_{f}^{k_{m}} h_{m} (x) \end{matrix})

$A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{k_1-1}h_1(x) & \ldots & L_{g_m}L_f^{k_1-1}h_1\\ \vdots & & \vdots\\ L_{g_1}L_f^{k_m-1}h_m(x) & \ldots & L_{g_m}L_F^{k_m-1}h_m\\ \end{pmatrix},\quad N(x) = \begin{pmatrix} L_f^{k_1}h_1(x)\\ \vdots\\ L_f^{k_m}h_m(x) \end{pmatrix}$

Отже, повинен бути зворотним для всіх . Якщо ви хочете виконувати функції передачі, просто застосуйте Laplace. $A(x)$ $x$

— Організм, керований кавою
джерело