Яка різниця між Полярним моментом інерції, та постійною , перерізу?

Це питання настільки принципово основне, що мене майже не соромно задавати, але він з’явився на роботі днями, і майже ніхто в офісі не міг дати мені гарної відповіді. Я обчислював напругу зсуву в члені за допомогою рівняння і помітив, що для валу з круглим перерізом .$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

І і використовуються для опису здатності об'єкта протистояти перекрученню. визначається як де = радіальна відстань до осі, про яку . Але не має точних аналітичних рівнянь і в основному обчислюється приблизними рівняннями, на які я не розглядав жодне посилання, яке я розглянув.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Отже, моє запитання полягає в тому, яка різниця між Полярним моментом інерції, та константою кручення, ? Не тільки математично, а й практично. Яку фізичну чи геометричну властивість представляє кожен? Чому так важко підрахувати?$I_P$$J_T$$J_T$

Константа кручення пов'язує кут повороту з прикладеним крутним моментом через рівняння: де - прикладний крутний момент, - довжина елемента, - модуль пружності при зсуві , а - константа кручення.$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

З іншого боку, полярний момент інерції - це міра опору поперечного перерізу до кручення з інваріантним поперечним перерізом і відсутністю значної деформації .

Випадок кругового стрижня під крученням особливий через кругову симетрію, а це означає, що він не перекручується і його перетин не змінюється при крученні. Тому .$J_T = I_P$

Коли член не має кругової симетрії, тоді ми можемо очікувати, що він перекрутиться під крученням, і тому .$J_T \neq I_P$

Що залишає проблему, як обчислити . На жаль, це не просто, тому значення (зазвичай приблизні) для загальних форм відображаються в таблиці.$J_T$

Один із способів обчислення константи кручення - це використання функції напруги Прандтла (інший - за допомогою функцій деформації ).

Не вдаючись до занадто багато деталей, слід вибрати функцію напруження Прандтла яка представляє розподіл напруги всередині члена і задовольняє граничні умови (непросто в цілому!). Він також повинен задовольняти рівнянню порівнянності Пуассона: Де - кут повороту на одиницю довжини.$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

Якщо ми вибрали функцію напружень так, що на границі (умова вільної межі тяги), ми можемо знайти константу кручення за: $\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Приклад: Прут круглого перерізу

Через симетрію кругового перерізу ми можемо взяти: де R - зовнішній радіус. Тоді отримуємо:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Приклад: Стрижень еліптичного перерізу

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ і що, звичайно, не дорівнює полярному моменту інерції еліпс: $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Оскільки в цілому , якщо ви використовували полярний момент інерції замість константи кручення, ви обчислили б менші кути повороту.$J_T < I_P$

Це майже збіг, і це справедливо лише для суцільних або порожнистих круглих перерізів. Звичайно, вали, що здійснюють кручення, часто бувають круглими, з незалежних від цього причин!

Кручення круглого валу фізично просте через симетричність круглої форми. За симетрією напруження і напруження в будь-якій точці можуть бути лише функцією радіальної відстані від центральної лінії валу. За теоремою Піфагора можна взяти довільну пару осей і виразити радіус як .$r^2 = x^2 + y^2$

Використовуючи цей факт, ви можете перетворити інтеграл по перерізу в суму двох інтегралів у напрямках і , і знову за допомогою симетрії ці два інтеграли повинні бути рівні один одному.$x$$y$

Форма інтегралів виявляється точно такою ж математичною формою, що і для другого моменту області кругового променя, що призводить до результату, про який ви просили.

Це не працює для некруглих секцій, оскільки розподіл напружень не є радіально симетричним. Наприклад, якщо порівнювати постійну кручення і полярний момент твердого квадратного перерізу, ви знайдете, що "константи" в двох формулах різні. Чим більше перетин відхиляється від кола, тим більшою буде різниця.

Постійну торсію для складної форми (наприклад, І-промінь) важко обчислити, оскільки розподіл напружень по перетину складний, і для нього не існує простої "формули", яку ви інтегруєте математично. Багато формул кручення в технічних посібниках базуються на спрощених припущеннях, а не на "точних" математичних рішеннях.

Але в реальному житті "помилки" не надто важливі, тому що, коли на кругову конструкцію застосовується крутильне навантаження, перерізи "перекручуються", тобто вони більше не залишаються площинами . У реальному житті кількість викривлень часто невідома, оскільки на неї впливають обмежувачі на кінцях валу. Якщо вам дійсно потрібна точна оцінка жорсткості кручення некругового компонента, вам доведеться скласти повну 3-D модель самого компонента і те, як він закріплений на решті конструкції. Якщо ви робите модель з таким рівнем деталізації, не має великого сенсу зменшувати відповідь на одне число просто так, щоб ви могли назвати це "крутизною кручення".

Полярний момент інерції, Ip, - це опір твердого тіла, яке підлягає перекрученню. Однак момент інерції обертальної маси, J, є моментом інерції обертового твердого тіла. Дивіться цю Інтернет .

Як я розумію, J - це те саме, що нормальний момент інерції, але для обертових об'єктів.