Як обчислюють радіус Землі на заданій геодезичній широті?

(Я бачу, що у Вікіпедії є рівняння, яке робить саме те, про що я прошу, але немає посилань. У мене немає способу підтвердити справедливість цього рівняння!)

Я вже розумію різницю між геоцентричною широтою та геодезичною широтою.

Припускаючи відомі напів основні, aі bнапівзначні радіуси, наведені радіуси. Як обчислюють радіус на заданій геодезичній широті?

Мені потрібне якесь підтвердження експерта (виведення, посилання на виведення, підтвердження від експерта, пояснення тощо).

Це питання передбачає еліпсоїдальну модель землі. Його опорна поверхня виходить обертанням еліпса навколо його другорядної осі (побудованої вертикально за умовами). Такий еліпс - це просто коло, розтягнуте горизонтально на коефіцієнт a, а по вертикалі - на коефіцієнт b . Використовуючи стандартну параметризацію одиничного кола,

t --> (cos(t), sin(t))

(який визначає косинус і синус), отримуємо параметризацію

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Дві складові цієї параметризації описують подорож навколо кривої: вони визначають, в декартових координатах, наше розташування в "час" t .)

Геодезична широта , е , в будь-якій точці кута , що «вгору» робить на екваторіальну площину. При а відрізняється від Ь , величина F відрізняється від т ( за винятком уздовж екватора і на полюсах).

На цій картині синя крива є одним квадратом такого еліпса (сильно перебільшеного в порівнянні з ексцентриситетом Землі). Червона крапка в нижньому лівому куті - її центр. Штриховою лінією позначається радіус до однієї точки на поверхні. Його напрямок "вгору" показано чорним відрізком: він, за визначенням, перпендикулярний еліпсу в цій точці. Через перебільшений ексцентриситет легко помітити, що «вгору» не паралельно радіусу.

У нашій термінології t пов'язаний з кутом, зробленим радіусом до горизонталі, а f - кутом, зробленим цим чорним відрізком. (Зверніть увагу, що будь-яку точку на поверхні можна розглядати з цієї точки зору. Це дозволяє нам обмежувати і t і f, щоб лежати між 0 і 90 градусами; їх косинуси і синуси будуть позитивними, тому нам не потрібно турбуватися про негативні квадратні корені у формулах.)

Трюк полягає в перетворенні з t -параметризації в одиницю з точки зору f , оскільки з точки зору t радіус R легко обчислити (через теорему Піфагора). Його площа - це сума квадратів складових точки,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Для здійснення цього перетворення нам потрібно відновити напрямок "вгору" f до параметра t . Цей напрямок перпендикулярний дотичній дотику еліпса. За визначенням, дотична до кривої (виражена у вигляді вектора) отримується шляхом диференціювання її параметризації:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(Диференціація обчислює швидкість зміни. Швидкість зміни нашої позиції під час подорожі по кривій - це, звичайно, наша швидкість , і це завжди вказує по кривій.)

Поверніть цю годинникову стрілку на 90 градусів, щоб отримати перпендикуляр, названий "нормальним" вектором:

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

Нахил цього нормального вектора, рівний (a sin (t)) / (b cos (t)) ("підйом над бігом"), також є дотичною кутом, який він робить до горизонталі, звідки

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

Рівнозначно,

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Якщо ви добре ознайомилися з евклідовою геометрією, ви могли б отримати це співвідношення безпосередньо з визначення еліпса, не проходячи жодного тригу або числення, просто визнавши, що об'єднані горизонтальні та вертикальні розширення на a і b відповідно мають наслідком зміни всі нахили за цим фактором b / a .)

Подивіться ще раз на формулу R (t) ^ 2: ми знаємо a і b - вони визначають форму і розмір еліпса - тому нам потрібно знайти лише cos (t) ^ 2 і sin (t) ^ 2 з точки зору f , що попереднє рівняння дозволяє нам легко:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Коли tan (f) нескінченний, ми на полюсі, тому просто встановіть f = t у такому випадку.)

Це зв’язок, який нам потрібен. Замініть ці значення для cos (t) ^ 2 та sin (t) ^ 2 у вираз для R (t) ^ 2 та спростіть, щоб отримати

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Просте перетворення показує, що це рівняння те саме, що знайдено у Вікіпедії. Тому що a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 і (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

Цікаво виявити, що моє математичне неграмотне рішення зробило цю роботу за 5 хвилин роздумів та кодування, чи не слід вважати фактор вирівнювання замість досконалої еліптичної моделі?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

Принаймні, це формула, яку я знайшов у Військовому центрі аналізу та оцінки даних (DAAC) для вікі Міністерства оборони (DoD) високопродуктивної програми модернізації обчислювальної техніки (HPCMP) . Це говорить про те, що вони значною мірою запозичили запис із Вікіпедії . І все-таки факт, що вони зберегли цю формулу, повинен щось розраховувати.