Кожен полігон має, як мінімум, чотири чіткі "центри":
Барицентр його вершин.
Барицентр його країв.
Його барицентр як багатокутник.
Специфічний для ГІС «центр», корисний для маркування (зазвичай розраховується за допомогою недокументованих фірмових методів).
(Вони можуть випадково збігатися в особливих випадках, але для "загальних" багатокутників вони є різними точками.)
"Барицентр" взагалі є "центром маси". Три типи відрізняються тим, де розміщена маса припущення: вона знаходиться цілком на вершинах, рівномірно розтікається по краях, або рівномірно поширюється по самому полігону.
Існують прості методи для обчислення всіх трьох барицентрів. Один підхід спирається на основний факт, що барицентр роз'єднаного об'єднання двох мас є середньозваженим середнім значенням барицентрів. З цього ми легко отримуємо наступне:
Барицентр двох вершин (однаково зважених) - це їх середнє значення. Це отримується шляхом усереднення їх координат окремо. Геометрично це середина відрізка лінії, що з'єднує дві вершини.
Індуктивно барицентр n (однаково зважених) вершин отримують шляхом усереднення їх координат окремо.
Барицентр відрізка лінії є його серединою. (Це зрозуміло за допомогою симетрії.)
Барицентр полілінії отримують шляхом знаходження середніх точок кожного сегмента лінії, а потім формування їх середньозваженого середнього, використовуючи довжину відрізка як ваги.
Наприклад, розглянемо форму "L", окреслену точками (0,0), (6,0), (6,12). Є два сегменти: один довжиною 6 із серединою у ((0 + 0) / 2, (0 + 6) / 2) = (3,0) та інший довжиною 12 із серединою в ((6 + 6) / 2, (0 + 12) / 2) = (6,6). Тому їх середньозважені середні координати (x, y) з
x = (6*3 + 12*6) / (6+12) = 5, y = (6*0 + 12*6) / (6+12) = 4.
Це відрізняється від барицентра трьох вершин, який ((0 + 6 + 6) / 3, (0 + 0 + 12) / 3) = (4,4).
( Редагувати. Як інший приклад, розглянемо фігуру у запитанні, яка, хоча і має квадратну форму, представлена як п'ятикутник, визначений послідовністю точок (0,0), (1 / 2,0), (1,0), (1,1), (0,1). П'ять сторін мають довжини 1/2, 1/2, 1, 1, 1 і середні точки (1 / 4,0), (3 / 4,0), (1 , 1/2), (1 / 2,1) та (0,1 / 2) відповідно, тому їх середньозважена середня величина дорівнює
[(1/2)*(1/4, 0) + (1/2)*(3/4, 0) + (1)*(1, 1/2) + (1)*(1/2, 1) + (1)*(0, 1/2)] / (1/2+1/2+1+1+1)
= (2/4, 2/4) = (0.5, 0.5)
як можна було б сподіватися, навіть незважаючи на те, що барицентр самих вершин (обчислений як у №2 вище) становить (0,5, 0,4).)
Барицентр багатокутника може бути отриманий тріангуляцією для його розкладання на трикутники. Барицентр трикутника-ква-многокутника збігається з барицентром його вершин. Середньозважене середньоквадратичне значення цих центрів є барицентром полігону. Площі трикутника легко обчислюються за вершинними координатами (наприклад, за добутком клину двох сторін). Для ілюстрації таких обчислень площі, включаючи як використовувати підписані (позитивні чи негативні) області, дивіться розділ "Площа" на моїй (старій) сторінці приміток до курсу .
( Редагувати. Розглянемо, наприклад, багатокутник, зображений у запитанні. Ми могли б тріангулювати його трикутниками ((0,0), (1 / 2,0), (0,1)) зліва, ((0,1), (1 / 2,0), (1,1)) посередині, і ((1,1), (1,0), (1 / 2,0)) праворуч. Їх площі 1/4 , 1/2, 1/4 відповідно та їх барицентри - отримані шляхом усереднення вершин - це (1 / 6,1 / 3), (1 / 2,2 / 3) та (5 / 6,1 / 3) відповідно. Середньозважене середнє значення цих барицентрів дорівнює
[(1/4)*(1/6,1/3) + (1/2)*(1/2,2/3) + (1/4)*(5/6,1/3)] / (1/4 + 1/2 + 1/4)
= (12/24, 6/12)
= (0.5, 0.5)
як слід, незважаючи на наявність п’ятої вершини уздовж нижнього краю.)
Очевидно, що кожен з цих методів є ефективним : він вимагає лише одного проходу над «спагетті» поданням полігону, використовуючи (досить мало) постійний час на кожному кроці. Зауважте, що у всіх випадках, окрім першої (з чистих вершин), потрібно більше інформації, ніж просто перелік вершинних координат: вам потрібно знати і топологію фігури. У прикладі "L" нам потрібно було знати, що (0,0), наприклад, пов'язано з (6,0), а не з (6,12).
Це все поняття Евкліда. Вони можуть поширюватися на сферу (або еліпсоїд) кількома способами. Прямий розглядає особливості як спрощений комплекс у трьох (евклідових) вимірах, обчислює відповідний барицентр, а потім проектує його назовні від центру еліпсоїда назад до поверхні. Для цього не потрібно нових понять чи формул; вам потрібно працювати лише з третьою (z) координатою на додаток до перших двох координат. (Ділянки все ще знаходяться з довжиною клинових виробів.)
Ще одне узагальнення визнає, що евклідова метрика - квадратний корінь суми квадратів, за Піфагором, - може бути змінена на інші метрики Lp для p> = 1: ви берете pth корінь суми pth сил. Знайти відповідні "барицентри" вже не так просто, оскільки прекрасні властивості добавок, що експлуатуються вище (барицентри - це середньозважені середні значення барицентрів простіших частин фігури), більше не мають значення. Часто доводиться отримувати ітеративні приблизні числові рішення. Вони можуть бути навіть не унікальними.
Додаткові центри можна визначити для різних цілей. Трикутники мають багато різних центрів, які можуть узагальнити (дещо) багатокутники: центр кругообігу, центр (деякого) максимального круга, центр мінімальної площі, що обмежує еліпс, та інші. Будь-який набір може бути укладений у різні "корпуси", такі як опуклий корпус та центри цих корпусів.
Зауважимо, що багато з цих "центрів" необов'язково розташовуються у внутрішній частині багатокутника. ( Хоча будь-який розумний центр опуклого багатокутника буде лежати всередині його внутрішніх приміщень.)
Ця різноманітність підходів і рішень вказує на те, що слід насторожено ставитися до такого загального терміна, як "центр геометрії" або просто "центр": це може бути майже все.
