Будь-яке програмне забезпечення, яке може точно проектувати координати, може обчислити точні показники Tissot .
Хорошим джерелом для формул є Snyder, John, Map Projections - Робочий посібник , головним чином, на стор. 20-26. (Я не відтворюю їх тут, оскільки на цьому веб-сайті немає відповідних інструментів для передачі математичних формул.) Вони потребують усіх чотирьох перших похідних проектованих координат (x, y) щодо сферичних координат (lat, lon) = (фі, лямбда):
dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).
Все інше про ТІ обчислюється з точки зору цих (використовуючи деякі арифметичні та тригонометричні функції: косинус, головний зворотний синус та головний зворотний дотичний). Для обчислень потрібен опис форми землі. Для найбільшої точності використовуйте еліпсоїдальну дату із напіввеликою віссю a та ексцентриситетом e. (Вони будуть відомі програмному забезпеченню.)
У книзі Снайдера є інструкції, як обчислити все, крім цих похідних. Зробіть це чисельно. Я мав відмінні результати, використовуючи оцінки центральних кінцевих різниць першого порядку на відстані h = 10 ^ (- 5,2) радіанів (як правило, близько 50 метрів): це хороший компроміс між спробою наблизитись до нескінченно малої кількості і втратити занадто велику точність від округлення з плаваючою точкою (якщо припустити подвійну точність), оскільки допущена помилка пропорційна (10 ^ (- 5.2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10.4), а 10 ^ (- 5.2) дорівнює 10 ^ 10.4 кратній точності подвійної точності IEEE 10 ^ (- 15,6), і це все-таки набагато більше, ніж типова точність проекцій, які зазвичай проходять від 10 ^ (- 10) до приблизно 10 ^ (- 14).
Отже, як ви обчислюєте кінцеві оцінки різниці? Ця частина напрочуд проста. Щоб отримати dx / d (phi) у точці (phi, лямбда), попросіть ваш ГІС спроектувати бали
(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).
Використовуйте кошториси
dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.
Аналогічно спроектуйте бали
(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)
і використовувати оцінки
dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.
Це займає чотири проекції та невелику арифметику. (Ви можете зменшити його до трьох, використовуючи не центральні відмінності, але точність трохи знижується. Розумно прагнути до високої точності, не дозволяючи h отримати занадто малим, якщо ви не впевнені, що ваш ГІС використовує оцінку (міліметр) точність у формулах прогнозування.)
З цих похідних, поряд із формулами Снайдера (звертаючи увагу на модифікації, описані в 4-19 та 4-21), можна отримати довжину осей індикатрії Tissot at (phi, лямбда) та її орієнтацію. На картах світового масштабу TI буде настільки малим, щоб бути непомітним, тому остаточне, що потрібно зробити, - це вирішити, скільки ви хочете змінити масштаб кожного TI. Я визначаю коефіцієнт масштабу, з’ясовуючи, наскільки великою буде карта, знаходя розміри типових TI на карті та масштабуючи так, що ці ТІ будуть приблизно на 6% ширшими від карти. Все-таки вдалий початок; Я дозволяю користувачеві регулювати розмір TI звідти. Звичайно, ви будете масштабувати всі TI на однакову кількість, щоб їх можна порівняти, і кожен буде розміщений навколо власного центру (який отримується за п’ятою проекцією, (phi, лямбда) -> (x, y) ).
Приємним доповненням до еліптичного зображення ТІ є показ напрямків локального меридіана та паралелі: тоді, з першого погляду, можна оцінити конвергенцію сітки . Я також показую стандартне коло (не представляє спотворень), концентричне для кожного ТІ, оскільки воно покращує здатність читача оцінювати кількість спотворень, представлених кожним еліпсом.
Слід зазначити, що ця проекція Mollweide - крайня TI біля південного полюса. Це все ще ідеальний еліпс і точно описує спотворення карти там.
