Як знайти прямокутник максимальної площі всередині опуклого багатокутника?

У цій публікації ми шукаємо алгоритми / ідеї, як знайти прямокутник максимальної площі всередині опуклого багатокутника .

На наступному малюнку цифри - це площі встановлених прямокутників. Як показано, бажаний прямокутник може змінюватися в кожному вимірі і може бути в будь-якому куті.

Редагувати:

Ми не маємо чіткої ідеї, як боротися із згаданою проблемою, тому запитали тут. Тим не менш, ми здогадуємося, що прямокутник з максимальною площею може бути одним із тих, у кого один край вирівняний на (необов'язково, однаковій довжині ребра, звичайно), краю полігона.

Деякі зауваження занадто великі для коментарів (хоча це не передбачає очевидного алгоритму):

Лінія перфорації (EDITED) : Принаймні дві вершини прямокутника максимальної площі повинні лежати на межі полігона (тобто вздовж ребра або у вершини). І якщо прямокутник максимальної площі не є квадратом, то принаймні три вершини повинні лежати на межі багатокутника.

Я довів це собі в чотири кроки:

Примітка №1 : Принаймні одна вершина прямокутника максимальної площі завжди буде лежати на межі багатокутника. Це досить очевидно, але доказ може бути таким (протиріччя): припустимо, у вас був "максимальний" прямокутник без вершини на кордоні полігона. Це означає, що навколо кожної його вершини буде хоча б трохи місця. Так ви могли трохи розширити свій прямокутник, суперечивши його максимальності.

Примітка №2 : Принаймні дві вершини прямокутника максимальної площі завжди будуть лежати на межі полігона. Доказ може бути таким (знову ж таки суперечливим): Припустимо, у вас був "максимальний" прямокутник із лише однією вершиною на межі (гарантується Приміткою №1). Розглянемо два ребра, що не примикають до цієї вершини. Оскільки їх кінцеві точки НЕ знаходяться на межі, навколо є невелика кімната. Таким чином, будь-який з цих країв можна трохи «екструдувати», розширивши площу полігону і суперечивши його максимальності.

Примітка №3 : Існують дві діагонально протилежні вершини прямокутника максимальної площі, які лежать на межі багатокутника. (З Примітки №2 ми знаємо, що принаймні дві, але необов'язково, що вони перетинаються одна від одної.) Але знову ж таки суперечливістю, якщо єдині дві граничні вершини були сусідніми, то протилежний край (жоден з вершин чиїх) знаходяться на межі) можна було б трохи видавити, збільшивши площу прямокутника і суперечивши його максимальності.

Примітка №4 : (ЗДОРОВАНО) Якщо максимальний прямокутник площі не є квадратом, то три його вершини будуть лежати на межі багатокутника.

Щоб довести, припустимо, що це не так, тобто, що прямокутник максимальної площі не є квадратом, а лише дві його вершини знаходяться на межі багатокутника. Я покажу, як побудувати більший прямокутник, що суперечить максимальності.

Назвіть вершини прямокутника A, B, C, і D. Без обмеження спільності, припустимо , що Bі Dє два , які знаходяться на кордоні багатокутника. Оскільки Aі Cзнаходяться на внутрішній частині багатокутника, навколо них є пелена кімната (представлена ​​кружечками навколо Aта Cна малюнку нижче). Тепер намалюйте коло навколо прямокутника, а точки ковзання Aта Cтрохи по колу настільки ж (зробіть A'і C', як зображено нижче), щоб новий прямокутникA'BC'Dє більш квадратним, ніж оригінальний прямокутник. Цей процес створює новий прямокутник, який також знаходиться в межах початкового багатокутника і має більшу площу. Це суперечність, тому доказ робиться.

Щоб вважати це доказом, вам доведеться переконати себе в тому, що площа прямокутника, вписаного в коло, збільшується в міру того, як він стає «більш квадратним» (тобто різниця між довжинами ребер стає меншою). Також вам потрібно багатокутник бути опуклим, щоб нові лінії були всередині нього. І, мабуть, є й інші дрібниці, що потрапляють під килим, але я впевнений, що вони все виходять.

Я зробив дуже швидкий і огидний етюд про вашу зелену ноту в питанні. Я не міг опублікувати це як коментар, тому мені довелося написати відповідь, навіть якщо це не одна.
Я вважаю, що на зображенні нижче у нас є максимальний прямокутник (не ідеальний, це лише ескіз, зроблений на Paint, щоб дати уявлення), і я не думаю, що ви можете знайти більшого, який мав би спільну сторону з межі чорного плігону ...
Однак я можу помилитися, у такому випадку ви маєте всі свої вибачення.

Більшість інших алгоритмів знаходять максимальну площу прямолінійного прямокутника, вписаного у опуклий багатокутник, і мають складність O(log n). Я не думаю, що ваша здогадка про те, що полігон максимальної площі вирівняний з однією із сторін, є правильним, тому що все, що вам потрібно зробити, це повернути багатокутник nраз, що спричинить складність O(n log n), і в моєму короткому дослідженні я не міг знайти щось, що говорить, що це було так просто.

Однак, у статті найбільші вписані прямокутники у опуклі багатокутники Knauer et al. ін., описує алгоритм наближення, який наблизить вас до правильної відповіді.

Як найкраще я розумію алгоритм, він будується на вершині одного з відомих вирівнюваних по осі полігонів максимальної площі, а потім випадковим чином відбирає точки всередині поліонного простору, генерує множинні осі з цих випадкових вибірок, ітераціює над цією віссю і застосовує вісь -порівняти алгоритм до кожного, а потім повернути найбільший прямокутник у цьому наборі.