Кількісне визначення нерівномірності меж багатокутника?

У мене є два полігони: Полігон 1 і Полігон 2.

Використовуючи дві метрики, площу та довжину периметра, я хочу кількісно висловити, що полігон 1 має більш нерівномірний / нерівний / неправильний периметр, ніж у полігону 2.

введіть тут опис зображення

Кожен багатокутник має однакову довжину по периметру, але кожен охоплює зовсім інші ділянки. Для кількісної оцінки нерівномірності / нерівності / нерівності кожного багатокутника, якщо розрахунок буде таким:

area/perimeter

або

perimeter/area

Я подумав perimeter/area, але потім знайшов цю публікацію в блозі, яка використовує area/perimeter: http://www.r-bloggers.com/measuring-the-gerrymander-with-spatstat/

spatial-statistics

— лучано
джерело

Жодне з цих співвідношень не має сенсу, оскільки вони обидва залежать від одиниць вимірювання. Ви можете зробити їх незалежними від одиниць, сформовавши однорідну функцію з нульовим ступенем, наприклад периметр / квадрат (область). Такі вимірювання часто називають "покрученістю". Деякі інші підходи можна знайти за допомогою пошуку нашого веб-сайту з повагою .

— блукання

Яке питання? F1 (X) / F2 (Y) або F2 (Y) / F1 (X) не є різними заходами, так само, як і міра, що не відрізняється від 1 / a.

— BradHards

@Bradhards Багато людей стверджують, що a / 1 / a - це різні способи вираження однієї і тієї ж основної величини, хоча між ними є математична залежність. Нелінійність цього співвідношення слід , це не просто зміна одиниць. Два вирази слід вважати по-справжньому різними, так само, як (скажімо, концентрація та концентрація журналу - це різні способи вираження концентрації, або милі на галон, а галони на милю - це по суті різні способи вираження економії палива. (І зауважте, що галони на милю трактуватимуться як марнотратство , а не марнотратність .)

— whuber

Відповіді:

Погляньте на програму під назвою FRAGSTATS ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/downloads/fragstats_downloads.html ). У розділі метрики виправлення він згадує "Індекс фрактальної розмірності", який зазначає "Індекс фрактальної розмірності привабливий, оскільки він відображає складність форми в діапазоні просторових масштабів (розміри латки). Таким чином, як і індекс фігури (SHAPE), він долає одне з основних обмежень прямого відношення площі периметр як міру складності форми. " ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/documents/Metrics/Shape%20Metrics/Metrics/P9%20-%20FRAC.htm ).

— користувач14134
джерело

Я додам, що формула для обчислення індексу фрактальної розмірності виглядає простою для обчислення, не потребуючи самого програмного забезпечення FRAGSTATS. Формула показана за посиланням вище. Індекс фрактальної розмірності наближається до 1 для фігур з дуже простими периметрами, таких як квадрати, і підходить 2 для дуже складних фігур.

— користувач14134

Відношення площі до периметра не означає багато, квадрат і прямокутник, ймовірно, вважатимуть однаковими зубцями, але вони можуть мати однаковий периметр, і чим далі від прямокутника квадратний, тим менше площа.

Для обчислення "нерівності" я думаю, що вам потрібно знати, скільки вершин знаходиться під кутом, більшим за 180 градусів. Це не повинно бути занадто важким для обчислення, якщо ви використовуєте магазин геометрії, де відомий напрямок обертання багатокутника (як правило, проти годинникової стрілки; у цьому випадку, якщо ви переходите від точки 1 до точки 2, кут перевищує 180 градусів, якщо точка 3 знаходиться праворуч від лінії, визначеної пунктами 1 і 2). В іншому випадку потрібно спочатку визначити обертання.

— Рассел в ISC
джерело

Це в основному те, що я думав. Якийсь "підрахунок" гострих кутів по периметру.

— Балток

Проблема цієї пропозиції полягає в тому, що це залежить від того, наскільки форма представлена більше, ніж від самої форми, що робить її довільною та ненадійною. Наприклад, кожну гостру точку на фігурі можна замінити послідовністю двох дуже розташованих між собою вершин, що мають кути менше 180 градусів, не помітно змінюючи форму. Важливість цієї відповіді полягає в тому, що вказується на те, що на запитання не можна відповісти без оперативного опису того, що має означати "нерівність".

— whuber

Я припускаю, що "зазубрений" означає "з увігнутістю". Вищезазначений приклад має ряд увігнутостей. Беручи до уваги, що в якості оперативного опису немає способу створити увігнутість у багатокутнику без створення кута, що перевищує 180 градусів відносно напрямку обертання вершин багатокутника

— Рассела в ISC

Я також припускаю, що багатокутник не перетинається.

— Рассел у ISC

@Russell Це добре, але це все ще не працює. "Увігнутість" може бути представлена однією вершиною або послідовністю тисяч близько розташованих увігнутих вершин (що відбувається, наприклад, коли функція створюється відніманням буферів інших ознак). Ще раз проблема полягає в тому, що ваша пропозиція залежить не від релевантних деталей подання форми, а не від притаманних властивостей самої форми. Це можна подолати багатьма способами, оцінивши фрактальну розмірність або повну абсолютну кривизну тощо , але, здається, ваша відповідь не йде в цьому напрямку.

— whuber

Спробуйте Нормований індекс периметра ( http://clear.uconn.edu/tools/Shape_Metrics/ ). Нормований показник периметра використовує рівне коло кола для нормалізації метрики. Таким чином, формула ефективно (в Python, імпорт математики)normPeriIndex = (2*math.sqrt(math.pi*Area))/perimeter

Для вашого прикладу:

Полігон 1: Нормований показник периметра = 0,358

Полігон 2: Нормований показник периметра = 0,947

Нормований показник периметра порівнює вхідний периметр до найбільш компактного багатокутника з тією ж площею (рівне коло кола), тобто ви можете використовувати його для виявлення особливостей з неправильними межами. Інша чудова річ, що це легко і швидко обчислити.

Ви також можете подивитися на нормалізовану дисперсію, яка обчислює середню відстань від точок по периметру від центру (дисперсія). Для цього ви також порахували б відхилення, яке є середньою різницею між кожною відстані та радіусом кола рівних ділянок, тоді остаточною формулою було б (дисперсія - відхилення) / дисперсія.

— crld
джерело