Розуміння термінів у формулі довжини ступеня?

Інтернет-калькулятори, такі як http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html (переглянути джерело сторінки), використовують наведені нижче формули для отримання метрів на градус. Я взагалі розумію, як відстань на градус змінюється залежно від географічного розташування, але я не розумію, як це перекладається нижче. Більш конкретно, звідки беруться константи, 3 "cos" у кожній формулі та коефіцієнти (2, 4, 6; 3, 5) для "lat"?

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

Основний радіус сфероїда WGS84 дорівнює a = 6378137 метрів, а його зворотне сплющення - f = 298.257223563, звідки квадратний ексцентриситет дорівнює

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

Меридіональний радіус кривизни на широті phi дорівнює

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

а радіус кривизни вздовж паралелі дорівнює

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

Крім того, радіус паралелі дорівнює

r = N cos(phi)

Це мультиплікативні виправлення сферичних значень M і N , обидва з яких дорівнюють сферичному радіусу a , до чого вони зводяться, коли e2 = 0.

У жовтій точці на 45 градусах північної широти синій диск радіуса М - це коливальне («цілуюче») коло в напрямку меридіана, а червоний диск радіуса N - коливальне коло в напрямку паралелі: обидва диски містять напрямок "вниз" в цій точці. Цей показник перебільшує сплющення землі на два порядки.

Радіуси кривизни визначають довжину градусів: коли коло має радіус R , його периметр довжиною 2 pi R охоплює 360 градусів, звідки довжина одного градуса pi * R / 180. Підставляючи M і r на R - - тобто множення M і r на pi / 180 - дає прості точні формули для градусних довжин.

Ці формули, які ґрунтуються виключно на заданих значеннях a і f (які можна знайти в багатьох місцях ) та описі сфероїда як еліпсоїда обертання, - узгоджуються з розрахунками у питанні в межах 0,6 частин на мільйон (кілька сантиметрів), що приблизно однаковий порядок найменших коефіцієнтів у питанні, вказуючи на те, що вони згодні. (Наближення завжди трохи низьке.) На графіку відносна похибка довжини ступеня широти є чорною, а довгота - пунктирною червоною:

Відповідно, ми можемо зрозуміти, що обчислення у питанні є наближеннями (через усічений тригонометричний ряд) до наведених вище формул.

Коефіцієнти можна обчислити з косинусових рядів Фур'є для M і r як функції широти. Вони задані з точки зору еліптичних функцій e2, які були б надто безладними для відтворення тут. Для сфероїду WGS84 мої розрахунки дають

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

(Ви можете здогадатися, як p4вводиться формула. :) Близькість цих значень до параметрів у коді свідчить про правильність цього тлумачення. Це покращене наближення точне набагато краще, ніж одна частина на мільярд скрізь.

Щоб перевірити цю відповідь, я виконав Rкод, щоб здійснити обидва обчислення:

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

Точний розрахунок з radiiможна використовувати для друку таблиць довжини градусів, як у

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

Вихід у метрах і виглядає приблизно так (при цьому деякі рядки вилучені):

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

Список літератури

Л. М. Бугаєвський та JP JP Snyder, Картографічні проекції - Довідковий посібник. Taylor & Francis, 1995. (Додаток 2 та Додаток 4)

JP Snyder, Проекції карт - робочий посібник. Професійний документ USGS 1395, 1987. (Розділ 3)

Це формула Гаверсіна , хоча і виражена дивним чином.