Це не справжня відповідь, а розширення щодо обчислення дифракційних шаблонів від відповіді @ whuber .
По-перше, ми маємо дифракційний інтеграл. Функція U p описує складну амплітуду в площині спостереження на відстані ( x p , y p ) від оптичної осі та відстані L z від джерела (якийсь дифракційний об'єкт, наприклад, отвір, діафрагма камери тощо). ) U s - функція, яка описує складну амплітуду в площині джерела; для надзвичайно малої щілини ви можете використовувати функцію дельти dirac . Третя змінна U s дорівнює 0, оскільки для зручності ми говоримо, що дифракційний об'єкт - це походження системи координат. Змінні x sі y s у своїх аргументах веде бухгалтерію на той факт, що об'єкт може мати певний розмір у площині x – y .
Це може не виглядати як такий жахливий інтеграл, але k і r sp - це лише позначення чогось більшого:
Інтегрування функції з радикалом із квадратними членами в ній як у чисельнику е, так і в знаменнику - справді дуже неприємний інтеграл.
Один спрощує інтеграл, видаляючи квадратні корені за допомогою представлення біноміального ряду та обрізання термінів вищого порядку. Інтеграл Фраунгофера тримає , коли потрібно 2 умови; інтеграл Френеля для коли потрібно 3 умови. Докази цього є певна нюанс, але це виходить за рамки цього.
Коли ми починаємо маніпулювати цими речами для отримання інтегралів дифракції Френеля і Фраунгофера, отримуємо три величини.
Якщо Nfd * ( θ d ) 2 << 1, інтеграл Френеля є дійсним. Якщо це вірно і Nfs << 1, інтеграл Фраунгофера має місце.
Два інтеграли:
Френель:
Fraunhofer:
де
,
і ν x і ν y - розмір джерела в заданому вимірі, поділений на довжину хвилі світла, відстань від відстані до джерела. Зазвичай це було б записано ν s = d / ( λx s ).
Щоб відповісти на запитання @ whuber щодо того, чому вам може знадобитися те чи інше, незважаючи на те, що заявляється у Вікіпедії, потрібно трохи подумати.
Коментар "у фокусній площині зображувальної лінзи ...", ймовірно, піднятий з підручника, і це означає, що джерело дифракції (тобто щілина, щілина, що завгодно - ці рівняння є агностичними щодо геометрії джерело) дуже далеко. На жаль, об'єктив не тільки міг бути на будь-якій відстані і ближче, ніж дозволяє інтеграл Fraunhofer, але і дифракція походить всередині системи об'єктивів для камери.
Правильна модель для дифракції від діафрагми камери - це n- сторонна діафрагма ( n - число лопаток діафрагми в об'єктиві), освітлена точковим джерелом у місці розташування речі на зображенні, що створює візерунок зіркового вибуху.
Коли об’єкти дійсно далеко (кілька метрів було б добре), точкові джерела поводяться так, ніби вони плоскі хвилі, і виводи, здійснені у Вікіпедії, є нормальними.
Наприклад, діафрагма для об'єктива з подвійним газом 50 мм знаходиться на відстані 40 ~ 60 мм від площини зображення. Він зображений парою лінз позаду фізичної зупинки на відстань, що перевищує цю відстань (це розташування вихідної зіниці), але вихідна зіниця не там, де функція U s ( x s , y s , 0) по центру!
Для світла діафрагми радіусом 500 нм та 1 мм ми можемо перевірити, чи дійсний інтеграл Фраунгофера. Він дорівнює (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ), або 40, що є >> 1, а інтеграл Фраунгофера недійсний. Для видимого світла, якщо зупинка діафрагми знаходиться на порядку міліметрів від детектора, Nfs ніколи не буде десь близько 1, не кажучи вже про набагато менший.
Ці рівняння можуть дещо відрізнятися від тих, що є у Вікіпедії; Я б посилався на OPT 261, "Інтерференція та дифракція" в Інституті оптики Рочестерського університету, який викладав професор Вамівакас. Рівняння в оптиці від Гехта повинні бути досить схожими. Рівняння складаються за складною амплітудою , щоб отримати Опромінення (він також інтенсивність або яскравість), ви взяли б величину квадрата результату.
