Чи завжди цей код оцінюється як хибний? Обидві змінні - це два підписані доповнення.

~x + ~y == ~(x + y)

Я відчуваю, що має бути якесь число, яке задовольняє умовам. Я спробував перевірки чисел між -5000і , 5000але ніколи не досягається рівність. Чи є спосіб скласти рівняння для пошуку розв’язків умови?

Чи буде обмін одним на інший викликати підступну помилку в моїй програмі?

Припустимо, для суперечності існують деякі xта деякі y(mod 2 ⁿ ) такі, що

~(x+y) == ~x + ~y

За доповненням двох * ми знаємо, що,

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Зазначаючи цей результат, ми маємо,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Отже, суперечність. Тому ~(x+y) != ~x + ~yдля всіх xі y(mod 2 ⁿ ).

^{* Цікаво зазначити, що на машині з арифметикою доповнення, рівність насправді справедлива для всіх xі y. Це відбувається тому , що під своїм комплементом ~x = -x. Таким чином, ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

Доповнення двох

На переважній більшості комп'ютерів, якщо xце ціле число, то -xпредставлено як ~x + 1. Рівнозначно , ~x == -(x + 1). Внесення цієї субституції у ваше рівняння дає:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

що суперечить, тому ~x + ~y == ~(x + y)завжди хибне .

При цьому педанти зазначають, що C не потребує доповнення двох, тому ми також повинні врахувати ...

Один доповнення

У доповненні , -xпросто представляється як ~x. Нуль - це особливий випадок, який має представлення як усіх-0 ( +0), так і всіх-1 ( -0), але IIRC, C вимагає +0 == -0навіть якщо вони мають різні бітові структури, тому це не повинно бути проблемою. Просто замінити ~на -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

що вірно для всіх xі y.

Розглянемо лише самий крайній біт обох xі y(IE. Якщо він x == 13знаходиться 1101в базі 2, ми розглянемо лише останній біт, а 1) Тоді є чотири можливі випадки:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Я залишаю це за вами, оскільки це домашнє завдання (підказка: це те саме, що і попереднє з x і y замінено).

x = 1, y = 1:

Я також залишу цей варіант.

Ви можете показати, що правий біт завжди буде різний на лівій та правій частині рівняння з урахуванням будь-якого можливого введення, тому ви довели, що обидві сторони не рівні, оскільки у них є принаймні той біт, який перевернутий один від одного.

Якщо кількість бітів дорівнює n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Тепер,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Отже, вони завжди будуть нерівними з різницею в 1.

Підказка:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Якщо припустити, що мета питання - це перевірка вашої математики (а не ваших навичок читання-С-специфікацій), це повинно дати вам відповідь.

І в доповненнях одного, і двох (і навіть у 42-х) це можна довести:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Тепер давайте a = yі маємо:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

або:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Тому в двох доповненнях це ~0 = -1, судження є хибним.

Доповнюючи це ~0 = 0, судження є істинним.

Згідно з книгою Денніса Річі, С не реалізує доповнення двох за замовчуванням. Тому ваше запитання не завжди може бути правдивим.

Нехай це MAX_INTбуде int, представлений символом 011111...111(наскільки багато бітів існує). Тоді ви це знаєте, ~x + x = MAX_INTі ~y + y = MAX_INTтому ви точно знатимете, що різниця між ~x + ~yі ~(x + y)є 1.

C не вимагає, щоб доповнення двох було те, що реалізоване. Однак для непідписаних цілих чисел застосовується аналогічна логіка. Відмінності завжди будуть 1 за цією логікою!

Звичайно, C не вимагає такої поведінки, оскільки не вимагає представлення комплементу двох. Наприклад, ~x = (2^n - 1) - x& ~y = (2^n - 1) - yотримає цей результат.

Ах, фундаментальна дискретна математика!

Ознайомтеся із законом Де Моргана

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Дуже важливі для булевих доказів!