Чому часова складність як DFS, так і BFS O (V + E)

Основний алгоритм для BFS:

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

Тому я думаю, що часова складність буде такою:

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

де vзнаходиться вершина 1вn

По-перше, правильно сказане? По-друге, як це O(N + E), і інтуїція щодо того, чому було б дійсно приємно. Дякую

Ваша сума

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

можна переписати як

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

і перша група, O(N)поки друга O(E).

DFS (аналіз):

• Встановлення / отримання мітки вершини / краю вимагає O(1)часу
• Кожна вершина позначається двічі
  • один раз як НЕВИСЛОВА
  • колись відвідав
• Кожен край маркується двічі
  • один раз як НЕВИСЛОВА
  • один раз як ВІДКРИТТЯ або НАЗАД
• Метод incidentEdges викликається один раз для кожної вершини
• DFS працює в O(n + m)часі за умови, що графік представлений структурою списку суміжності
• Нагадаємо, що Σv deg(v) = 2m

BFS (аналіз):

• Встановлення / отримання мітки вершини / краю займає O (1) час
• Кожна вершина позначається двічі
  • один раз як НЕВИСЛОВА
  • колись відвідав
• Кожен край маркується двічі
  • один раз як НЕВИСЛОВА
  • один раз як ВІДКРИТТЯ чи КРЕС
• Кожна вершина вставляється один раз у послідовність Li
• Метод incidentEdges викликається один раз для кожної вершини
• BFS працює в O(n + m)часі за умови, що графік представлений структурою списку суміжності
• Нагадаємо, що Σv deg(v) = 2m

Дуже спрощено без особливої ​​формальності: кожен край вважається рівно вдвічі, і кожен вузол обробляється рівно один раз, тому складність повинна бути постійною кратною кількістю ребер, а також кількістю вершин.

Часова складність O(E+V)замість того, O(2E+V)що якщо часова складність дорівнює n ^ 2 + 2n + 7, то вона записується як O (n ^ 2).

Отже, O (2E + V) записується як O (E + V)

тому що різниця між n ^ 2 і n має значення, але не між n і 2n.

Я думаю, що кожне ребро було розглянуто двічі, і кожен вузол було відвідано один раз, тому загальна часова складність повинна бути O (2E + V).

Інтуїтивне пояснення цьому полягає у простому аналізі одного циклу:

1. відвідати вершину -> O (1)
2. a для циклу на всіх падаючих краях -> O (e), де e - кількість ребер, що падають на дану вершину v.

Тож загальний час для однієї петлі дорівнює O (1) + O (e). Тепер підсумовуйте її для кожної вершини, оскільки кожна вершина відвідується один раз Це дає

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

Коротке, але просте пояснення:

Я найгірший випадок, який вам знадобиться відвідати всю вершину і край, отже, складність часу в гіршому випадку - O (V + E)