Чому алгоритм Dijkstra не працює для відхилення відхилення ваги?

Хтось може мені сказати, чому алгоритм Діккстри для найкоротшого шляху з одним джерелом передбачає, що краї повинні бути негативними.

Я говорю лише про ребра, а не про негативні цикли ваги.

Нагадаємо, що в алгоритмі Дейкстри, коли вершина позначена як "закрита" (і поза відкритим набором) - алгоритм знайшов найкоротший шлях до нього , і йому більше ніколи не доведеться розвивати цей вузол - він передбачає шлях, розроблений до цього шлях найкоротший.

Але з негативними вагами - це може бути неправдою. Наприклад:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   5       2
  /         \
  B--(-10)-->C

V={A,B,C} ; E = {(A,C,2), (A,B,5), (B,C,-10)}

Дайкстра з А спочатку розвине С, а згодом не зможе його знайти A->B->C

РЕДАКТУЙТЕ трохи глибше пояснення:

Зауважте, що це важливо, тому що на кожному кроці розслаблення алгоритм передбачає, що "вартість" для "закритих" вузлів дійсно мінімальна, і, таким чином, вузол, який буде обраний далі, також мінімальний.

Ідея його така: Якщо у нас вершина відкрита таким, що її вартість мінімальна - додаючи будь-яке додатне число до будь-якої вершини - мінімальність ніколи не зміниться.
Без обмеження на додатні числа - вищенаведене припущення не відповідає дійсності.

Оскільки ми «знаємо», що кожна вершина, яка була «закрита», мінімальна - ми можемо сміливо робити крок розслаблення - не «озираючись». Якщо нам потрібно "озирнутися назад" - Bellman-Ford пропонує рекурсивне (DP) рішення зробити це.

Розгляньте наведений нижче графік із джерелом як Vertex A. Спершу спробуйте самостійно запустити алгоритм Dijkstra.

Коли в своєму поясненні я посилаюсь на алгоритм Дейкстри, я буду говорити про алгоритм Дейкстри, як реалізовано нижче,

Отже, починаючи значення ( відстань від джерела до вершини ), спочатку присвоєні кожній вершині,

Спочатку витягуємо вершину в Q = [A, B, C], яка має найменше значення, тобто A, після чого Q = [B, C] . Примітка A має спрямований край до B і C, і обидва вони знаходяться в Q, тому ми оновлюємо обидва ці значення,

Тепер витягуємо C як (2 <5), тепер Q = [B] . Зауважте, що C пов'язаний ні з чим, тому line16цикл не працює.

Нарешті витягуємо В, після чого . Примітка B має спрямований край до C, але C відсутня в Q, тому ми знову не вводимо цикл for line16,

Отже, ми закінчуємо відстані як

Зверніть увагу, як це неправильно, оскільки найкоротша відстань від А до С становить 5 + -10 = -5, коли ви йдете .

Тож для цього графіка Алгоритм Дійкстри неправильно обчислює відстань від А до С.

Це відбувається тому , що алгоритм Дейкстри не намагається знайти більш короткий шлях до вершин , які вже витягнутими з Q .

Що line16робить цикл, це взяти вершину u і сказати: "Ей, схоже, ми можемо перейти до v від джерела через u , це те, що (альт або альтернатива) відстань краще, ніж поточний dist [v], який ми отримали? Якщо так, можна оновити dist [v] "

Зверніть увагу , що в line16вони перевіряють всі сусіди V (тобто спрямоване ребро існує від U до V ), з U які ще в Q . У line14них видалити відвідану замітку з Q. Таким чином , якщо х є відвідуваним сусідом U , шлях буде навіть не розглядаються як можливий короткий шлях від джерела до V .

У нашому прикладі вище C був відвідуваним сусідом B, тому шлях не вважався, залишаючи поточний найкоротший шлях незмінним.

Це насправді корисно, якщо ваги краю - це позитивні цифри , тому що тоді ми б не витрачали час на розгляд шляхів, які не можуть бути коротшими.

Тому я кажу, що при запуску цього алгоритму, якщо x витягується з Q до y , то не можна знайти шлях - який коротший. Дозвольте пояснити це на прикладі,

Оскільки y щойно був видобутий і x був видобутий раніше, тоді dist [y]> dist [x], оскільки в іншому випадку y був би вилучений до x . ( line 13хв відстань спочатку)

І як ми вже припускали, що крайові ваги позитивні, тобто довжина (x, y)> 0 . Таким чином, альтернативна відстань (alt) через y завжди впевнено більша, тобто dist [y] + довжина (x, y)> dist [x] . Таким чином, значення dist [x] не було б оновлене, навіть якби y розглядалося як шлях до x , тож ми робимо висновок, що має сенс розглядати лише сусідів y, які ще перебувають у Q (зверніть увагу на line16)

Але ця річ залежить від нашого припущення про позитивну довжину ребра, якщо довжина (u, v) <0, то залежно від того, наскільки негативним є цей край, ми можемо замінити dist [x] після порівняння в line18.

Отже, будь-який розрахунок dist [x], який ми робимо, буде невірним, якщо x буде видалено до того, як всі вершини v - такі, що x - сусід v з негативним ребром, що з'єднує їх, - буде видалено.

Оскільки кожен з цих v вершин є другою останньої вершиною на потенціалі «кращого» шлях від джерела до й , який відкидається алгоритмом Дейкстри.

Отже, у прикладі, який я наводив вище, помилка полягала в тому, що C було видалено до видалення B. Поки той С був сусідом Б з негативним краєм!

Просто для уточнення, B і C - сусіди А. B має одного сусіда C, а C не має сусідів. довжина (a, b) - довжина ребра між вершинами a і b.

Алгоритм Дейкстри передбачає, що шляхи можуть стати лише "важчішими", так що якщо у вас є шлях від А до В з вагою 3 і шлях від А до С із вагою 3, ви не можете додати край і дістатися від А до В до С із вагою менше 3.

Це припущення робить алгоритм швидшим, ніж алгоритми, які повинні враховувати негативні ваги.

Правильність алгоритму Дейкстри:

У нас є 2 набори вершин на будь-якому кроці алгоритму. Множина A складається з вершин, до яких ми обчислили найкоротші шляхи. Множина B складається з вершин, що залишилися.

Індуктивна гіпотеза : На кожному кроці ми будемо вважати, що всі попередні ітерації є правильними.

Індуктивний крок : Коли ми додамо вершину V до множини A і встановимо відстань, яка має бути віддаленою [V], ми повинні довести, що ця відстань є оптимальною. Якщо це не є оптимальним, до вершини V має бути якийсь менший шлях.

Припустимо, це якийсь інший шлях проходить через деяку вершину X.

Тепер, оскільки dist [V] <= dist [X], тому будь-який інший шлях до V буде найменшою довжиною dist [V], якщо граф не має від'ємної довжини ребра.

Таким чином, для роботи алгоритму диккстри ваги ребер повинні бути негативними.

Спробуйте алгоритм Діккстри на наступному графіку, припустивши, що Aце вихідний вузол, щоб побачити, що відбувається:

Нагадаємо, що в алгоритмі Дейкстри, коли вершина позначена як "закрита" (і поза відкритим набором) - вона передбачає, що будь-який вузол, що виходить з неї, призведе до більшої відстані , тому алгоритм знайшов найкоротший шлях до нього, і буде ніколи більше не потрібно розробляти цей вузол, але це не відповідає дійсності у випадку негативних ваг.

Інші відповіді поки що доволі добре демонструють, чому алгоритм Дейкстри не може впоратися з негативними вагами на трасах.

Але саме питання, можливо, засноване на неправильному розумінні ваги шляхів. Якщо б негативні ваги на шляхах були дозволені в алгоритмах прокладання маршрутів взагалі, ви отримаєте постійні петлі, які не зупиняться.

Врахуйте це:

A  <- 5 ->  B  <- (-1) ->  C <- 5 -> D

Який оптимальний шлях між A і D?

Будь-який алгоритм накладання маршрутів повинен постійно тримати цикл між B і C, оскільки це зменшить вагу загального шляху. Таким чином, якщо дозволити негативне зважування для з'єднання, буде відображено будь-який спір алгоритму pathfindig, можливо, за винятком випадків, коли ви обмежуєте використання кожного з'єднання лише один раз.

Ви можете використовувати алгоритм dijkstra з негативними ребрами, не включаючи негативний цикл, але ви повинні дозволити, що вершину можна буде відвідувати кілька разів, і ця версія втратить її швидкість у часі.

У цьому випадку практично я бачив, що краще використовувати алгоритм SPFA, який має нормальну чергу і може обробляти негативні краї.