Скільки значущих цифр має поплавці та подвійні в Java?

Question 1

Чи має поплавок 32 двійкові цифри, а подвійний - 64 двійкові цифри? Документація була надто складною, щоб зрозуміти її.

Чи всі біти перекладаються на значущі цифри? Або розташування десяткової коми займає деякі біти?

Question 2

float : 32 біти (4 байта), де 23 біти використовуються для мантиси (близько 7 десяткових цифр). Для експоненти використовується 8 бітів, тому плаваючий засіб може «переміщати» десяткову крапку вправо або вліво, використовуючи ці 8 бітів. Це дозволяє уникнути зберігання великої кількості нулів у мантисі, як у 0,0000003 (3 × 10 ^-7 ) або 3000000 (3 × 10 ⁷ ). В якості знакового біта використовується 1 біт.

double : 64 біти (8 байт), де 52 біти використовуються для мантиси (приблизно 16 десяткових цифр). Для експоненти використовується 11 бітів, а 1 біт - знаковий біт.

Оскільки ми використовуємо двійкові (лише 0 та 1), один біт у мантисі має неявний 1 (як float, так і double використовують цей фокус), коли число не дорівнює нулю.

Крім того, оскільки все є у двійковому (мантисі та експонентах) перетворення в десяткові числа, як правило, не є точними. Такі числа, як 0,5, 0,25, 0,75, 0,125 зберігаються точно, але 0,1 - ні. Як казали інші, якщо вам потрібно точно зберігати центи, не використовуйте float або double, використовуйте int, long, BigInteger або BigDecimal.

Джерела:

http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary64

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary32

Question 3

32-розрядний поплавок має приблизно 7 цифр точності, а 64-розрядний подвійний - близько 16 цифр точності

Довга відповідь:

Числа з плаваючою комою мають три складові:

Знаковий біт, щоб визначити, чи є число позитивним чи негативним.
Показник степеня, щоб визначити величину числа.
Дріб, який визначає відстань між двома показниками ступеня. Це іноді називають "значенням, мантисою або коефіцієнтом"

По суті, це вдається sign * 2^exponent * (1 + fraction). «Розмір» числа, його показника, для нас не має значення, оскільки він лише масштабує значення частки частки. Знаючи, що log₁₀(n)дає число цифр n, †, ми можемо визначити точність числа з плаваючою точкою за допомогою log₁₀(largest_possible_fraction). Оскільки кожен біт у поплавці зберігає 2 можливості, двійкове число nбітів може зберігати число до 2ⁿ - 1(загальна кількість 2ⁿ значень, де одне із значень дорівнює нулю). Це стає трохи волосатішим, оскільки виявляється, що числа з плаваючою комою зберігаються з одним бітом дробу менше, ніж вони можуть використовувати, оскільки нулі представлені спеціально, а всі ненульові числа мають принаймні один ненульовий двійковий біт. ‡

Поєднуючи це, цифри точності для числа з плаваючою точкою складають log₁₀(2ⁿ), де n- кількість бітів частки числа з плаваючою точкою. 32-розрядний поплавок має 24 біти дробу для ≈7,22 десяткових цифр точності, а 64-бітний подвійний - 53 біти дробу для ≈15,95 десяткових цифр точності.

Щоб отримати докладнішу інформацію про точність із плаваючою точкою, ви можете прочитати про концепцію машини epsilon .

† n ≥ 1Принаймні - для інших чисел ваша формула буде виглядати більше ⌊log₁₀(|n|)⌋ + 1.

‡ “Це правило по-різному називають умовою провідного біта, неявною умовою бітів або умовою прихованих бітів”. ( Вікіпедія )

Question 4

Зі специфікації Java :

Типи з плаваючою комою бувають з плаваючою комою та подвійними, які концептуально пов’язані зі значеннями та операціями IEEE 754 з одноточною 32-бітною та подвійною точністю 64-бітного формату, як зазначено у IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI / IEEE Стандарт 754-1985 (IEEE, Нью-Йорк).

Оскільки важко щось робити із числами, не розуміючи основ IEEE754, ось ще одне посилання .

Важливо розуміти, що точність не є рівномірною і що це не точне зберігання чисел, як це робиться для цілих чисел.

Приклад :

double a = 0.3 - 0.1;
System.out.println(a);

відбитки

0.19999999999999998

Якщо вам потрібна довільна точність (наприклад, для фінансових цілей), вам може знадобитися Big Decimal .

Question 5

Звичайна математична відповідь.

Зрозумівши, що число з плаваючою точкою реалізується як деякі біти, що представляють показник ступеня, а решта, більшість із цифр (у двійковій системі), можна мати таку ситуацію:

З великим показником, скажімо, 10²³, якщо міняється найменш значущий біт, з’являється велика різниця між двома сусідніми роздільними мишучими числами. Крім того, десяткова точка бази 2 робить так, що багато чисел 10 базових значень можна лише наблизити; 1/5, 1/10 - нескінченні числа.

Так загалом : числа з плаваючою комою не слід використовувати, якщо ви дбаєте про значні цифри. Для грошових сум із розрахунком, e, a, найкраще використовувати BigDecimal .

Для фізики подвійні числа з плаваючою комою є достатніми, плаваючі майже ніколи. Крім того, частина процесорів із плаваючою комою, FPU, може навіть використовувати трохи більшу точність внутрішньо.

Question 6

Числа з плаваючою комою кодуються за допомогою експоненціальної форми, тобто щось подібне m * b ^ e, тобто зовсім не подібне до цілих чисел. Запитання, яке ви задаєте, було б значущим у контексті фіксованих точок . Доступні численні арифметичні бібліотеки з фіксованою точкою .

Щодо арифметики з плаваючою точкою: Кількість десяткових цифр залежить від подання та системи числення. Наприклад, є періодичні числа ( 0.33333), які не мають скінченного подання у десятковому вигляді, але мають двійкове і навпаки.

Також варто відзначити , що числа з плаваючою точкою до певної точки дійсно є різниця більше , ніж один, тобто value + 1виходи value, так як value + 1не можуть бути закодовані з використанням m * b ^ e, де m, bі eфіксуються в довжину. Те саме відбувається для значень, менших за 1, тобто всі можливі кодові точки не мають однакової відстані.

Через це не існує точності саме nцифр, як у номерах фіксованих точок, оскільки не кожне число з nдесятковими цифрами має кодування IEEE.

Існує майже обов'язковий документ, який ви тоді повинні прочитати, який пояснює числа з плаваючою крапкою: Що кожен знавець інформатики повинен знати про арифметику з плаваючою крапкою .

Question 7

Подивіться на Float.intBitsToFloatі Double.longBitsToDouble, який вид пояснює, як біти відповідають числам із плаваючою комою. Зокрема, шматочки нормального floatвиглядають приблизно так

 s * 2^exp * 1.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW

де A ... W - це 23 біти - 0s та 1s - що представляють дріб у двійковому файлі - s дорівнює +/- 1, представлене 0 або 1 відповідно, а exp є 8-бітовим цілим числом із підписом.