Я хочу з'ясувати кут за годинниковою стрілкою між 2 векторами (2D, 3D).

Класичний спосіб із точковим добутком дає мені внутрішній кут (0-180 градусів), і мені потрібно використовувати деякі твердження if, щоб визначити, чи є результат потрібним кутом чи його доповненням.

Чи знаєте ви прямий спосіб обчислення кута за годинниковою стрілкою?

2D корпус

Так само, як точковий добуток пропорційний косинусу кута, визначник пропорційний його синусу. Тож ви можете обчислити кут так:

dot = x1*x2 + y1*y2      # dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2      # determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

Орієнтація цього кута збігається з орієнтацією системи координат. У лівій системі координат , тобто х, спрямованому вправо та у вниз, як це звичайно для комп'ютерної графіки, це означатиме, що ви отримаєте позитивний знак для кутів за годинниковою стрілкою. Якщо орієнтація системи координат математична з y вгору, ви отримуєте кути проти годинникової стрілки, як це прийнято в математиці. Зміна порядку входів змінить знак, тому, якщо ви незадоволені знаками, просто поміняйте місцями входи.

3D футляр

У 3D два довільно розміщені вектори визначають власну вісь обертання, перпендикулярну обом. Ця вісь обертання не має фіксованої орієнтації, а це означає, що ви також не можете однозначно зафіксувати напрямок кута повороту. Одна загальноприйнята умова - дозволити кутам завжди бути позитивними та орієнтувати вісь таким чином, щоб вона відповідала позитивному куту. У цьому випадку точкового добутку нормованих векторів достатньо для обчислення кутів.

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2    #between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

Площина, вбудована в 3D

Окремим випадком є ​​випадок, коли ваші вектори розміщені не довільно, а лежать у площині з відомим нормальним вектором n . Тоді вісь обертання також буде в напрямку n , і орієнтація n зафіксує орієнтацію для цієї осі. У цьому випадку ви можете адаптувати 2D-обчислення вище, включаючи n у детермінант щоб зробити його розмір 3 × 3.

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

Однією з умов, щоб це працювало, є нормальний вектор n має одиницю довжини. Якщо ні, то доведеться його нормалізувати.

Як потрійний продукт

Цю детермінанту можна також виразити як потрійний добуток , як зазначив @Excrubulent у запропонованій редакції .

det = n · (v1 × v2)

Це може бути простіше реалізувати в деяких API і дає інший погляд на те, що тут відбувається: поперечний добуток пропорційний синусу кута і буде лежати перпендикулярно площині, отже, буде кратним n . Точковий добуток, таким чином, в основному вимірюватиме довжину цього вектора, але з прикріпленим до нього правильним знаком.

Для обчислення кута потрібно просто зателефонувати atan2(v1.s_cross(v2), v1.dot(v2))за 2D-корпусом. Де s_crossскалярний аналог перехресного виробництва (підписана площа паралелограма). Для 2D корпусу це було б виготовлення клину. Для 3D-випадку потрібно визначити обертання за годинниковою стрілкою, оскільки з одного боку площини за одним годинником знаходиться один напрямок, з іншого боку площини - інший напрямок =)

Редагувати: це кут проти годинникової стрілки, кут за годинниковою стрілкою прямо протилежний

Ця відповідь така ж, як і у MvG, але пояснює це по-різному (це результат моїх зусиль, намагаючись зрозуміти, чому працює рішення MvG). Я публікую це повідомлення, якщо інші вважають це корисним.

Кут проти годинникової стрілки thetaвід xдо yвідносно точки зору заданої нормаліn ( ||n|| = 1), визначається як

atan2 (крапка (n, хрест (x, y)), крапка (x, y))

(1) = atan2 (|| x || || y || sin (тета), || x || || y || cos (тета))

(2) = atan2 (sin (тета), cos (тета))

(3) = кут проти годинникової стрілки між віссю х та вектором (cos (тета), sin (тета))

(4) = тета

де ||x||позначає величинуx .

Крок (1) слід зазначити, що

хрест (x, y) = || x || || y || sin (тета) n,

і так

крапка (n, хрест (x, y))

= крапка (n, || x || || y || sin (theta) n)

= || x || || y || sin (theta) точка (n, n)

що дорівнює

|| х || || y || гріх (тета)

якщо ||n|| = 1.

Крок (2) випливає з визначення atan2, зазначаючи, що atan2(cy, cx) = atan2(y,x)де cє скаляр. Крок (3) випливає з визначення atan2. Крок (4) випливає з геометричних визначень cosі sin.

Скалярний (крапковий) добуток двох векторів дозволяє отримати косинус кута між ними. Щоб отримати 'напрямок' кута, слід також розрахувати перехресний добуток, він дозволить вам перевірити (через координату z), чи кут дорівнює годинниковій стрілці чи ні (тобто витягувати його з 360 градусів чи ні).

Для двовимірного методу ви можете використовувати закон косинусів та метод "напряму".

Для обчислення кута відрізка P3: P1, що рухається за годинниковою стрілкою, до відрізка P3: P2.

 
    P1 P2

        P3

    double d = direction(x3, y3, x2, y2, x1, y1);

    // c
    int d1d3 = distanceSqEucl(x1, y1, x3, y3);

    // b
    int d2d3 = distanceSqEucl(x2, y2, x3, y3);

    // a
    int d1d2 = distanceSqEucl(x1, y1, x2, y2);

    //cosine A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
    double cosA = (d1d3 + d2d3 - d1d2)
        / (2 * Math.sqrt(d1d3 * d2d3));

    double angleA = Math.acos(cosA);

    if (d > 0) {
        angleA = 2.*Math.PI - angleA;
    }

This has the same number of transcendental

операції, як зазначені вище, і лише одна більш-менш операція з плаваючою комою

методи, які він використовує:

 public int distanceSqEucl(int x1, int y1, 
    int x2, int y2) {

    int diffX = x1 - x2;
    int diffY = y1 - y2;
    return (diffX * diffX + diffY * diffY);
}

public int direction(int x1, int y1, int x2, int y2, 
    int x3, int y3) {

    int d = ((x2 - x1)*(y3 - y1)) - ((y2 - y1)*(x3 - x1));

    return d;
}

Якщо під "прямим шляхом" ви маєте на увазі уникнення ifтвердження, то я не думаю, що існує насправді загальне рішення.

Однак, якщо ваша конкретна проблема дозволить втратити деяку точність при дискретизації кута, і ви не можете втратити час на перетворення типів, ви можете зіставити дозволений діапазон кута phi [-pi, pi) з дозволеним діапазоном деякого підписаного цілого числа . Тоді ви отримаєте комплементарність безкоштовно. Однак я насправді не використовував цей трюк на практиці. Швидше за все, витрати перетворень з плаваючим у ціле число та цілим із плаваючим числом переважатимуть будь-яку користь від прямоти. Краще встановити свої пріоритети для написання коду, що авторизується або розпаралелізується, коли обчислення цього кута робиться багато.

Крім того, якщо деталі вашої проблеми такі, що існує певний більш вірогідний результат для напрямку кута, тоді ви можете використовувати вбудовані функції компіляторів, щоб надати цю інформацію компілятору, щоб він міг ефективніше оптимізувати розгалуження. Наприклад, у випадку gcc, це __builtin_expectфункція. Це дещо зручніше використовувати, коли ви загортаєте його у такі likelyта unlikelyмакроси (як у ядрі Linux):

#define likely(x)      __builtin_expect(!!(x), 1)
#define unlikely(x)    __builtin_expect(!!(x), 0)

Формула для кута за годинниковою стрілкою, 2D-корпус, між 2 векторами, xa, ya та xb, yb.

Кут (vec.a-vec, b) = pi () / 2 * ((1 + знак (ya)) * (1-знак (xa ^ 2)) - (1 + знак (yb)) * (1- знак (xb ^ 2)))

                        +pi()/4*((2+sign(ya))*sign(xa)-(2+sign(yb))*sign(xb))

                        +sign(xa*ya)*atan((abs(ya)-abs(xa))/(abs(ya)+abs(xa)))

                        -sign(xb*yb)*atan((abs(yb)-abs(xb))/(abs(yb)+abs(xb)))

просто скопіюйте та вставте це.

angle = (acos((v1.x * v2.x + v1.y * v2.y)/((sqrt(v1.x*v1.x + v1.y*v1.y) * sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y))))/pi*180);

Ласкаво просимо ;-)