Швидкий метод округлення дубля до 32-бітного int пояснив

Читаючи вихідний код Lua , я помітив, що Lua використовує a macroдля округлення a doubleдо 32-бітового int. Я витяг macro, і це виглядає приблизно так:

union i_cast {double d; int i[2]};
#define double2int(i, d, t)  \
    {volatile union i_cast u; u.d = (d) + 6755399441055744.0; \
    (i) = (t)u.i[ENDIANLOC];}

Тут ENDIANLOCвизначається як ендіанство , 0для маленького ендіана, 1для великого ендіана. Луа дбайливо поводиться з витримкою. tозначає цілий тип, як intабо unsigned int.

Я трохи провів дослідження, і є більш простий формат, macroякий використовує ту саму думку:

#define double2int(i, d) \
    {double t = ((d) + 6755399441055744.0); i = *((int *)(&t));}

Або в стилі C ++:

inline int double2int(double d)
{
    d += 6755399441055744.0;
    return reinterpret_cast<int&>(d);
}

Цей трюк може працювати на будь-якій машині, що використовує IEEE 754 (що означає майже кожну машину сьогодні). Він працює як для позитивних, так і для негативних цифр, і округлення слідує правилу Банкіра . (Це не дивно, оскільки це відповідає IEEE 754.)

Я написав невелику програму, щоб перевірити її:

int main()
{
    double d = -12345678.9;
    int i;
    double2int(i, d)
    printf("%d\n", i);
    return 0;
}

І він виводить -12345679, як очікувалося.

Я хотів би детально розібратися, як macroпрацює ця хитрість . Магічне число 6755399441055744.0є насправді 2^51 + 2^52або 1.5 * 2^52, і 1.5в двійковій формі може бути представлене як 1.1. Коли до цього магічного числа додається будь-яке 32-бітове ціле число, ну, я звідси гублюсь. Як працює ця хитрість?

PS: Це у вихідному коді Lua, Llimits.h .

ОНОВЛЕННЯ :

1. Як зазначає @Mysticial, цей метод не обмежує себе 32-бітним int, він також може бути розширений до 64-розрядногоint , доки число перебуває в діапазоні 2 ^ 52. ( macroПотребує певної модифікації.)
2. Деякі матеріали кажуть, що цей метод не можна використовувати в Direct3D .

3. Під час роботи з асемблером Microsoft для x86 там macroнаписано ще швидше assembly(це також витягнуто з джерела Lua):

   #define double2int(i,n)  __asm {__asm fld n   __asm fistp i}

4. Існує аналогічне магічне число для одного точного числа: 1.5 * 2 ^23

A doubleпредставлений так:

і його можна розглядати як два 32-бітні цілі числа; Тепер intу всіх версіях вашого коду (припустимо, що це 32-бітний int) є праворуч на рисунку, тож ви, зрештою, робите найменші 32 біти мантіси.

Тепер до магічного числа; як ви правильно сказали, 6755399441055744 - це 2 ^ 51 + 2 ^ 52; додавання такої кількості змушує doubleперейти в "солодкий діапазон" між 2 ^ 52 і 2 ^ 53, що, як пояснюється тут у Вікіпедії , має цікаву властивість:

Між 2 ⁵² = 4,503,599,627,370,496 і 2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992 представними числами є саме цілі числа

Це випливає з того, що мантіса шириною 52 біти.

Інший цікавий факт додавання 2 ⁵¹ +2 ⁵² полягає в тому, що він впливає на мантісу лише у двох найвищих бітах - які все одно відкидаються, оскільки ми беремо лише найнижчі 32 біти.

І останнє, але не менш важливе: знак.

IEEE 754 з плаваючою точкою використовує подання величини та знаків, тоді як цілі числа на "нормальних" машинах використовують арифметику комплементу 2; як це обробляється тут?

Ми говорили лише про додатні цілі числа; тепер припустимо, що ми маємо справу з від'ємним числом у діапазоні, представленому 32-бітовим int, тому менше (в абсолютному значенні), ніж (-2 ^ 31 + 1); назвати це -a. Таке число, очевидно, стає позитивним, додаючи магічне число, і отримане значення становить 2 ⁵² +2 ⁵¹ + (- а).

Тепер, що ми отримуємо, якщо інтерпретувати мантію у представленні доповнення 2? Він повинен бути результатом суми доповнення 2 (2 ⁵² +2 ⁵¹ ) і (-a). Знову ж таки, перший додаток стосується лише верхніх двох бітів, що залишається у бітах 0 ~ 50 - це доповнення 2-го доповнення (-a) (знову ж таки, мінус два верхніх біта).

Оскільки зменшення числа доповнення 2 на меншу ширину відбувається лише шляхом відрізання зайвих біт зліва, взяття нижнього 32 біта дає нам правильно (-а) 32-бітну, арифметичну доповнення 2-х.