найбільше ціле число, яке може зберігатися в подвійному

Яке найбільше ціле число без плавання, яке можна зберігати в подвійному типі IEEE 754, не втрачаючи точності?

Найбільше / найбільше ціле число, яке можна зберегти у подвійному, не втрачаючи точності, те саме, що найбільше можливе значення подвійного. Тобто, DBL_MAXабо приблизно 1,8 × 10 ³⁰⁸ (якщо ваш подвійний 64-розрядний IEEE 754). Це ціле число. Він представлений точно. Що ще ти хочеш?

Далі, запитайте мене, що таке найбільше ціле число, щоб воно та всі менші цілі числа могли зберігатися в 64-розрядних подвійних дублях IEEE, не втрачаючи точності. 64-розрядний подвійний IEEE має 52 біти мантіси, тому я думаю, що це 2 ⁵³ :

• 2 ⁵³ + 1 не можна зберігати, оскільки 1 на початку і 1 в кінці мають занадто багато нулів між ними.
• Все, що менше 2 ⁵³Можна зберігати , причому 52 біти явно зберігаються в мантісі, а потім показник фактично дає вам ще один.
• 2 ⁵³ очевидно можна зберігати, оскільки це мала потужність 2.

Або інший спосіб його погляду: як тільки зміщення було знято з показника, і ігнорування бітового знака як ірелевантного до питання, значення, яке зберігається у подвійному, - це потужність 2, плюс 52-бітове ціле число, помножене на 2 ^{показник - 52} . Таким чином, за допомогою експонента 52 ви можете зберігати всі значення від 2 ⁵² до 2 ⁵³  - 1. Потім з експонентом 53 наступне число, яке ви можете зберігати після 2 ^53, - 2 ⁵³ + 1 × 2 ^{53 - 52} . Тож втрата точності спочатку відбувається з 2 ⁵³ + 1.

9007199254740992 (це 9,007,199,254,740,992) без гарантій :)

Програма

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

Результат

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

У цьому ж контексті у Вікіпедії є посилання на IEEE 754 :

У типовій комп'ютерній системі двійкове число з плаваючою комою з подвійною точністю (64-бітне) має коефіцієнт 53 біт (один з яких мається на увазі), показник 11 біт і один біт знаків.

2 ^ 53 трохи більше 9 * 10 ^ 15.

Найбільше ціле число, яке може бути представлено у подвійному (64-розрядному) IEEE, є таким самим, як найбільше значення, яке може представляти тип, оскільки саме це значення є цілим числом.

Це представлено як 0x7FEFFFFFFFFFFFFF , що складається з:

• Біт знака 0 (позитивний), а не 1 (негативний)
• Максимальний показник 0x7FE(2046, що становить 1023 після віднімання зміщення), а не0x7FF (2047, що вказує на a NaNабо нескінченність).
• Максимальна мантіса 0xFFFFFFFFFFFFF яка становить 52 біти, 1.

У двійковому значенні це імпліцитна 1, а за нею ще 52 з мантіси, потім 971 нуль (1023 - 52 = 971) від показника.

Точне десяткове значення:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

Це приблизно 1,8 х 10 ³⁰⁸ .

Потрібно подивитися на розмір мантіси. 64-бітове число з плаваючою точкою IEEE 754 (яке має 52 біти плюс 1 мається на увазі) може точно представляти цілі числа з абсолютним значенням менше або рівним 2 ^ 53.

1.7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGвід <float.h>має дати хоча б розумне наближення цього. Оскільки це стосується десяткових цифр, і він дійсно зберігається у двійковій формі, ви, ймовірно, можете зберігати щось трохи більше, не втрачаючи точності, але скільки точно важко сказати. Я припускаю, що ви зможете це зрозуміти FLT_RADIXі DBL_MANT_DIG, але я не впевнений, що я повністю довіряю результату.