Чому зміна порядку доходу повертає інший результат?

Чому зміна порядку доходу повертає інший результат?

23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05

23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004

І Java, і JavaScript дають однакові результати.

Я розумію, що через те, як числа з плаваючою комою представлені у двійкових, деякі раціональні числа ( наприклад, 1/3 - 0,333333 ... ) неможливо точно представити.

Чому просто зміна порядку елементів впливає на результат?

Можливо, це питання дурне, але чому просто зміна порядку елементів впливає на результат?

Це змінить точки, в яких значення округляються, виходячи з їх величини. В якості прикладу роду речей , які ми бачать, давайте робити вигляд , що замість бінарної з плаваючою точкою, ми використовували десятковий тип з плаваючою точкою з 4 значущими цифрами, де виконуються кожне додавання в «нескінченної» точності , а потім з округленням до найближчий представницький номер. Ось дві суми:

1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
                = 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
                = 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)

2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
                = 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
                = 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)

Нам навіть не потрібні цілі числа, щоб це було проблемою:

10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
                  = 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
                  = 0

10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
                  = 0 + 1
                  = 1

Це, можливо, більш чітко демонструє, що важлива частина полягає в тому, що ми маємо обмежену кількість значущих цифр - не обмежену кількість десяткових знаків . Якби ми завжди могли зберігати однакову кількість десяткових знаків, то з додаванням і відніманням принаймні, ми б добре (до тих пір, поки значення не переповнювались). Проблема полягає в тому, що коли ви потрапляєте до більшої кількості, втрачається менша інформація - в цьому випадку 10001 округляється до 10000. (Це приклад проблеми, яку Ерік Ліпперт зазначив у своїй відповіді .)

Важливо зауважити, що значення у першому рядку правого боку є однаковими у всіх випадках - тому хоча важливо розуміти, що ваші десяткові числа (23.53, 5.88, 17.64) не будуть представлені точно як doubleзначення, це лише проблема через проблеми, показані вище.

Ось що відбувається у двійковому. Як ми знаємо, деякі значення з плаваючою комою не можуть бути представлені точно у двійковій формі, навіть якщо вони можуть бути представлені точно у десятковій формі. Ці 3 числа - лише приклади цього факту.

За допомогою цієї програми я виводить шістнадцяткові подання кожного числа та результати кожного додавання.

public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

printValueAndInHexМетод просто помічник шестигранного принтера.

Вихід такий:

403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

Перші 4 цифри x, y, z, і s«и шістнадцятиричні уявлення. У поданні IEEE з плаваючою точкою біти 2-12 представляють двійковий показник , тобто масштаб числа. (Перший біт - біт знака, а решта бітів для мантіси .) Представлений показник - це фактично двійкове число мінус 1023.

Експоненти для перших 4 чисел витягуються:

    sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

Перший набір доповнень

Друге число ( y) має меншу величину. Додаючи ці два числа для отримання x + y, останні 2 біти другого числа ( 01) зміщуються поза діапазоном і не враховуються в обчисленні.

Друге додавання додає x + yі zдодає два числа однакової шкали.

Другий набір доповнень

Тут, x + zвідбувається спочатку. Вони однакової шкали, але дають число, яке вище за шкалою:

404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

Друге додавання додає x + zі y, і тепер для додавання чисел ( ) випадають 3 біти . Тут має бути кругле вгору, тому що результат - наступне число з плаваючою комою вгору: для першого набору доповнень проти другого набору доповнень. Ця помилка є достатньо істотною для відображення у роздруківці загальної кількості.y10140478666666666664047866666666667

На закінчення будьте обережні, виконуючи математичні операції над номерами IEEE. Деякі уявлення неточні, і вони стають ще більш неточними, коли масштаби різні. Додайте і віднімайте числа аналогічного масштабу, якщо зможете.

Відповідь Джона, звичайно, правильна. У вашому випадку помилка не більша за помилку, яку ви накопичили, виконуючи будь-яку просту операцію з плаваючою комою. У вас є сценарій, коли в одному випадку ви отримуєте нульову помилку, а в іншому - крихітну помилку; це насправді не такий цікавий сценарій. Хороше питання: чи існують сценарії, коли зміна порядку розрахунків переходить від крихітної помилки до (відносно) величезної помилки? Відповідь однозначно - так.

Розглянемо для прикладу:

x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);

проти

x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);

проти

x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;

Очевидно в точній арифметиці вони були б однаковими. Приємно намагатися знайти значення для a, b, c, d, e, f, g, h, такі, що значення x1 і x2 та x3 відрізняються на велику кількість. Подивіться, чи можете ви це зробити!

Це насправді охоплює набагато більше, ніж просто Java та Javascript, і, ймовірно, вплине на будь-яку мову програмування з використанням поплавців чи подвійних.

У пам'яті плаваючі точки використовують спеціальний формат по лініях IEEE 754 (перетворювач забезпечує набагато краще пояснення, ніж я можу).

У всякому разі, ось перетворювач поплавця.

http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/

Справа в порядку операцій - це «тонкість» операції.

Ваш перший рядок отримує 29,41 від перших двох значень, що дає нам 2 ^ 4 як показник.

Ваш другий рядок дає 41,17, що дає нам 2 ^ 5 як показник.

Ми втрачаємо значну цифру, збільшуючи показник, який, ймовірно, змінить результат.

Спробуйте позначити останній біт праворуч увімкнення та вимкнення 41,17, і ви можете побачити, що чогось такого «незначного», як 1/2 ^ 23 експонента, буде достатньо, щоб викликати різницю з плаваючою точкою.

Редагувати: Для тих, хто пам’ятає значні цифри, це підпадає під цю категорію. 10 ^ 4 + 4999 зі значущою цифрою 1 буде дорівнює 10 ^ 4. У цьому випадку значна цифра значно менша, але ми можемо побачити результати із доданим до неї .00000000004.

Номери з плаваючою комою представлені у форматі IEEE 754, який забезпечує певний розмір бітів для мантіси (significand). На жаль, це дає вам певну кількість «дробових будівельних блоків», з якими можна грати, і певні дробові значення не можуть бути представлені точно.

У вашому випадку відбувається те, що у другому випадку додавання, ймовірно, стикається з якоюсь точністю через порядок оцінювання доповнень. Я не обчислював значення, але може бути, наприклад, що 23,53 + 17,64 неможливо точно представити, тоді як 23,53 + 5,88 може.

На жаль, це відома проблема, з якою вам просто доводиться стикатися.

Я вважаю, що це стосується порядку евакуляції. Хоча сума, природно, однакова в математичному світі, у двійковому світі замість A + B + C = D, це

A + B = E
E + C = D(1)

Отже, є той вторинний крок, на якому числа з плаваючою комою можуть зійти.

Змінивши замовлення,

A + C = F
F + B = D(2)