Ми всі знаємо, що 0 ⁰ є невизначеним.

Але , javascript говорить, що:

Math.pow(0, 0) === 1 // true

і C ++ говорить те саме:

pow(0, 0) == 1 // true

ЧОМУ?

Я це знаю:

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

Але чому Math.pow(0, 0)помилок не виникає? Або, можливо NaN, буде краще, ніж 1.

У C ++ в результаті потужно (0, 0) результат в основному визначається реалізація поведінки , оскільки математично ми маємо суперечливу ситуацію , в якій N^0завжди має бути , 1але 0^Nзавжди має бути 0на N > 0, так що ви не повинні мати ніяких очікувань математично в результаті цього або. У цьому повідомленні на форумі Wolfram Alpha йдеться трохи більше деталей.

Наявність pow(0,0)результату в 1корисно для багатьох додатків, оскільки обгрунтування міжнародного стандарту - Мови програмування - C говорить у розділі, що охоплює підтримку арифметики з плаваючою крапкою IEC 60559 :

Як правило, C99 уникає результату NaN, коли числове значення є корисним. [...] Результати pow (∞, 0) та pow (0,0) дорівнюють 1, оскільки існують програми, які можуть використовувати це визначення. Наприклад, якщо x (p) та y (p) - це будь-які аналітичні функції, які стають нулем при p = a, тоді pow (x, y), що дорівнює exp (y * log (x)), наближається до 1 із наближенням p a.

Оновіть C ++

Як leemes правильно вказав , що я спочатку пов'язано з посиланням на комплексну версію потужна в той час як нескладна версію стверджує , що це помилка домену проекту стандарту C ++ повертається до проекту стандарту C і як С99 і С11 в розділі 7.12.7.4 військовополонених функції пункт 2 говорить ( наголос на моєму ):

[...] Помилка домену може статися, якщо x дорівнює нулю, а y дорівнює нулю. [...]

що, наскільки я можу зрозуміти, означає, що ця поведінка є невизначеною поведінкою Перемотування бітового розділу 7.12.1 Обробка умов помилок говорить:

[...] помилка домену виникає, якщо вхідний аргумент знаходиться поза доменом, над яким визначена математична функція. [...] При помилці домену функція повертає значення, визначене реалізацією; якщо цілочисловий вираз math_errhandling & MATH_ERRNO ненульовий, цілочисловий вираз errno набуває значення EDOM; [...]

Отже, якщо була помилка домену, то це була б поведінка, визначена реалізацією, але як в останніх версіях, так gccі clangв значенні errnois, 0це не є помилкою домену для цих компіляторів.

Оновіть Javascript

Для Javascript Специфікації ECMAScript® Мови в розділі 15.8 Математики Об'єкт під 15.8.2.13 потужному (х, у) говорить , що серед інших умов , що:

Якщо y дорівнює +0, результат дорівнює 1, навіть якщо x дорівнює NaN.

У JavaScript Math.powвизначається наступним чином :

• Якщо y - NaN, результат - NaN.
• Якщо y дорівнює +0, результат дорівнює 1, навіть якщо x дорівнює NaN.
• Якщо y дорівнює −0, результат дорівнює 1, навіть якщо x дорівнює NaN.
• Якщо x NaN, а y ненульовий, результат NaN.
• Якщо abs (x)> 1 і y дорівнює + ∞, результат дорівнює + ∞.
• Якщо abs (x)> 1 і y дорівнює −∞, результат дорівнює +0.
• Якщо abs (x) == 1 і y дорівнює + ∞, результатом є NaN.
• Якщо abs (x) == 1 і y дорівнює −∞, результатом є NaN.
• Якщо abs (x) <1 і y дорівнює + ∞, результат дорівнює +0.
• Якщо abs (x) <1 і y дорівнює −∞, результат дорівнює + ∞.
• Якщо x дорівнює + ∞ і y> 0, результат буде + ∞.
• Якщо x дорівнює + ∞ і y <0, результат дорівнює +0.
• Якщо x дорівнює −∞ і y> 0, а y - непарне ціле число, результат дорівнює −∞.
• Якщо x дорівнює −∞ і y> 0, а y не є непарним цілим числом, результат буде + ∞.
• Якщо x дорівнює −∞ і y <0, а y - непарне ціле число, результат дорівнює −0.
• Якщо x дорівнює −∞ і y <0, а y не є непарним цілим числом, результат дорівнює +0.
• Якщо x дорівнює +0 та y> 0, результат дорівнює +0.
• Якщо x дорівнює +0 і y <0, результат дорівнює + ∞.
• Якщо x дорівнює −0 та y> 0, а y - непарне ціле число, результат дорівнює −0.
• Якщо x дорівнює −0 і y> 0, а y не є непарним цілим числом, результат дорівнює +0.
• Якщо x дорівнює −0 та y <0, а y - непарне ціле число, результат дорівнює −∞.
• Якщо x дорівнює −0 і y <0, а y не є непарним цілим числом, результат дорівнює + ∞.
• Якщо x <0 і x скінченне, а y скінченне, а y не ціле число, результатом є NaN.

_{наголос мій}

як правило, рідні функції будь-якої мови повинні працювати, як описано в специфікації мови. Іноді це включає явно "невизначену поведінку", де реалізатор повинен визначити, яким має бути результат, проте це не випадок невизначеної поведінки.

Це просто умовність визначити його як 1, 0або залишити його undefined. Визначення широко поширене через таке визначення:

Документація ECMA-Script говорить про pow(x,y):

• Якщо y дорівнює +0, результат дорівнює 1, навіть якщо x дорівнює NaN.
• Якщо y дорівнює −0, результат дорівнює 1, навіть якщо x дорівнює NaN.

[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]

За даними Вікіпедії:

У більшості параметрів, що не передбачають неперервності експоненти, інтерпретація 0 ⁰ як 1 спрощує формули та позбавляє потреби в особливих випадках у теоремах.

Існує кілька можливих способів поводження 0**0з плюсами і мінусами кожного (див. Вікіпедію для розширеного обговорення).

Стандарт IEEE 754-2008 з плаваючою комою рекомендує три різні функції:

• powтрактує 0**0як 1. Це найстаріша визначена версія. Якщо потужність є цілим цілим числом, результат такий самий, як і для pown, в іншому випадку результат є таким, як для powr(за винятком деяких виняткових випадків).
• pownрозглядає 0 ** 0 як 1. Потужність повинна бути точним цілим числом. Значення визначено для від’ємних основ; наприклад, pown(−3,5)є −243.
• powrрозглядає 0 ** 0 як NaN (Not-a-Number - undefined). Значення також NaN для таких випадків, як, powr(−3,2)коли база менше нуля. Значення визначається exp (потужність '× журнал (база)).

Дональд Кнут

начебто вирішили цю дискусію в 1992 році наступним:

І ще детальніше вдався до своєї статті « Дві нотатки про нотацію» .

В основному, хоча ми не маємо 1 як обмеження f(x)/g(x)для всіх не всіх функцій, f(x)і g(x)це все одно робить комбінаторику набагато простішою для визначення 0^0=1, а потім просто робимо особливі випадки в тих кількох місцях, де вам потрібно розглянути такі функції, як 0^x, які дивні в будь-якому випадку. Адже x^0придумується набагато частіше.

Одні з найкращих дискусій, які я знаю з цієї теми (крім статті Кнута):

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
• http://www.quora.com/Mathematics/What-is-math-0-0-math?share=1
• /math/475337/the-binomial-formula-and-the-value-of-00

Коли ви хочете знати, якому значенню ви повинні надати, f(a)коли fбезпосередньо не обчислюється a, ви обчислюєте межу часу, fколи xпрагне до a.

У випадку x^y, звичайні межі мають тенденцію до того, 1коли xі yяк правило 0, і особливо, x^xяк правило, 1коли це xпрагне 0.

Див. Http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

Визначення мови С говорить (7.12.7.4/2):

Помилка домену може статися, якщо x дорівнює нулю, а y дорівнює нулю.

Там також сказано (7.12.1 / 2):

У разі помилки домену функція повертає значення, визначене реалізацією; якщо цілочисловий вираз math_errhandling & MATH_ERRNO ненульовий, цілочисловий вираз errno набуває значення EDOM; якщо цілочисловий вираз math_errhandling & MATH_ERREXCEPT ненульовий, піднімається виняток з плаваючою комою '' недійсним ''.

За замовчуванням значення math_errhandlingє MATH_ERRNO, тому перевірте errnoзначення EDOM.

Я хотів би не погодитись із твердженням деяких попередніх відповідей, що це питання домовленостей чи зручності (що охоплює деякі особливі випадки для різних теорем тощо), що 0 ^ 0 визначається як 1 замість 0.

Посилення насправді не так добре поєднується з іншими нашими математичними позначеннями, тому визначення, яке ми всі вивчаємо, залишає місце для плутанини. Дещо інший спосіб наблизитись до нього полягає у тому, що a ^ b (або exp (a, b), якщо хочете) повертає значення мультиплікативно, еквівалентне множенню якоїсь іншої речі на a, повторене b разів.

Помноживши 5 на 4, 2 рази, отримаємо 80. Ми помножили 5 на 16. Отже, 4 ^ 2 = 16.

Коли ви помножуєте 14 на 0, 0 рази, у нас залишається 14. Ми помножили його на 1. Отже, 0 ^ 0 = 1.

Цей напрямок мислення також може допомогти прояснити негативні та дробові показники. 4 ^ (- 2) - це 16-е число, оскільки 'від'ємне множення' - це ділення - ми ділимо на чотири рази двічі.

a ^ (1/2) - це корінь (a), оскільки множення чогось на корінь a - це половина мультиплікативної роботи, як множення його на самого себе - вам доведеться зробити це двічі, щоб помножити щось на 4 = 4 ^ 1 = (4 ^ (1/2)) ^ 2

Щоб це зрозуміти, потрібно вирішити числення:

Розширивши x^xнавколо нуля за допомогою серії Тейлора, отримаємо:

Отже, щоб зрозуміти, що відбувається з обмеженням, коли xдорівнює нулю, нам потрібно з’ясувати, що відбувається з другим членом x log(x), оскільки інші терміни пропорційні x log(x)підвищенню до певної міри.

Нам потрібно використовувати трансформацію:

Тепер після цієї трансформації ми можемо скористатися правилом L'Hôpital , яке говорить:

Отже, диференціюючи цю трансформацію, ми отримуємо:

Отже, ми підрахували, що доданок log(x)*xдоходить до 0, коли x наближається до 0. Легко помітити, що інші послідовні доданки також наближаються до нуля і навіть швидше, ніж другий доданок.

Отже, в даний момент x=0ряд стає 1 + 0 + 0 + 0 + ...і, таким чином, дорівнює 1.