Для тих, хто використовує проект .NET Standard у поєднанні з проектами .NET Framework :
У спосіб .NET Standard пакети, що входять до проекту .NET Standard, будуть правильно використовуватися для інших проектів .NET Core та .NET Standard.
Що стосується способу .NET Framework, якщо ви посилаєтесь на проект .NET Standard від проекту .NET Framework (MVC), вам потрібно вручну завантажити та встановити ті самі пакети нугів.
Тож відповідь на моє запитання полягала в тому, що мені довелося завантажити та встановити Microsoft.AspNet.WebApi.Client
у веб-проект (.NET Framework), який використовує проект .NET Standard там, де Microsoft.AspNet.WebApi.Client
це потрібно. Насправді я вже встановив це, але була різниця у версії.
Я просто додаю цю відповідь, щоб інші бачили, вона може не відповісти безпосередньо на питання ОП, але це заощадило мені час, спершу перевіривши це, а не роблячи голосові відповіді.