Складність у часі алгоритму Решето Ератосфена

З Вікіпедії:

Складність алгоритму - O(n(logn)(loglogn))бітові операції.

Як ви прийшли до цього?

Те, що складність включає цей loglognтермін, говорить мені, що sqrt(n)десь є.

Припустимо, я запускаю сито на перші 100 чисел ( n = 100), припускаючи, що позначення чисел як складених займає постійний час (реалізація масиву), кількість разів, які ми використовуємо mark_composite(), буде приблизно такою, як

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

І щоб знайти наступне просте число (наприклад, перейти до нього 7після викреслення всіх чисел, кратних 5), кількість операцій буде O(n).

Отже, складність буде O(n^3). Ви згодні?

1. Ваш n / 2 + n / 3 + n / 5 +… n / 97 не є O (n), оскільки кількість термінів не є постійною. [Редагувати після редагування: O (n ² ) - занадто вільна верхня межа.] Вільна верхня межа - n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… 1 / n) (сума взаємних значень усіх чисел до n), яка дорівнює O (n log n): див. Гармонічне число . Більш правильна верхня межа - n (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…), тобто сума зворотних простих чисел до n, що дорівнює O (n log log n). (Дивіться тут або тут .)

2. «Знайти наступне просте число» біт тільки O (п) в цілому, амортизуються - ви будете рухатися вперед , щоб знайти наступний номер тільки п раз в загальній складності , які не на крок. Отже, вся ця частина алгоритму приймає лише O (n).

Отже, використовуючи ці два, ви отримуєте верхню межу арифметичних операцій O (n log log n) + O (n) = O (n log log n). Якщо підраховувати бітові операції, оскільки ви маєте справу з числами до n, вони мають приблизно біт log n, саме тут надходить коефіцієнт log n, що дає O (n log n log log n) бітових операцій.

Те, що складність включає термін входу, говорить мені, що десь є sqrt (n).

Майте на увазі, що, коли Pпід час просіювання ви знаходите просте число , ви не починаєте перекреслювати числа у вашому поточному положенні + P; ви фактично починаєте викреслювати номери на P^2. Усі кратні, Pменші ніж, P^2будуть перекреслені попередніми простими числами.

1. Внутрішній цикл робить n/iкроки, де iis prime => вся складність sum(n/i) = n * sum(1/i). Відповідно до простих гармонічних рядів, sum (1/i)де iє простим є log (log n). В цілому O(n*log(log n)).

2. Я думаю , що верхня петля може бути оптимізована шляхом заміни nз sqrt(n)таким загальною складністю часу буде O(sqrt(n)loglog(n)):

   void isprime(int n)
   {
       int prime[n],i,j,count1=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          prime[i]=1;
       }
       prime[0]=prime[1]=0;
       for(i=2;i<=n;i++)
       {
           if(prime[i]==1)
           {
               printf("%d ",i);
               for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                   prime[i*j]=0;
           }
       }    
   }
   

див. взяти наведене вище пояснення, внутрішній цикл - це гармонічна сума всіх простих чисел до sqrt (n). Отже, фактична складність - O (sqrt (n) * log (log (sqrt (n)))))