Кращий алгоритм виявлення циклів у спрямованому графіку

Який найефективніший алгоритм виявлення всіх циклів у межах спрямованого графіка?

У мене є спрямований графік, що представляє графік завдань, які потрібно виконати, робота - вузол, а залежність - край. Мені потрібно виявити випадок помилки циклу в цьому графіку, що призводить до циклічних залежностей.

Алгоритм сильно пов'язаних компонентів Таряна має O(|E| + |V|)часову складність.

Інші алгоритми див. У Сильно пов'язаних компонентах у Вікіпедії.

Враховуючи, що це графік завдань, я підозрюю, що в якийсь момент ви збираєтесь сортувати їх за запропонованим порядком виконання.

Якщо це так, то реалізація топологічного сортування може у будь-якому випадку виявляти цикли. UNIX, tsortбезумовно, робить. Я думаю, що, ймовірно, тому ефективніше виявляти цикли одночасно з цортуванням, а не на окремому етапі.

Тож може статися питання "як я найбільш ефективно розбираю", а не "як я найбільш ефективно виявляю петлі". На що відповідь, ймовірно, "використовуйте бібліотеку", але не дотримуйтесь наступної статті у Вікіпедії:

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting

має псевдокод одного алгоритму та короткий опис іншого від Тарджана. Обоє мають O(|V| + |E|)часову складність.

Найпростіший спосіб зробити це - перше проходження глибини (DFT) графіка .

Якщо графік має nвершини, це O(n)алгоритм складності часу. Оскільки вам, можливо, доведеться робити DFT, починаючи з кожної вершини, загальна складність стає O(n^2).

Ви повинні підтримувати стек, що містить усі вершини в поточному першому проходженні глибини , причому його першим елементом є кореневий вузол. Якщо ви натрапили на елемент, який вже є у стеці під час DFT, у вас є цикл.

Відповідно до леми 22.11 Cormen та ін., Вступ до алгоритмів (CLRS):

Спрямований графік G є ациклічним тоді і лише тоді, коли пошук на глибині першого G не дає зворотних ребер.

Про це згадувалося в кількох відповідях; тут я також наведу приклад коду, який базується на главі 22 CLRS. Приклад графіку проілюстровано нижче.

Псевдокод CLRS для першого глибинного пошуку читає:

У прикладі на CLRS, рисунок 22.4, графік складається з двох дерев DFS: одне складається з вузлів u , v , x і y , а інше з вузлів w і z . Кожне дерево містить один задній край: одне від x до v та інше від z до z (самостійна петля).

Ключ реалізації є те , що задній край зустрічається , коли в DFS-VISITфункції, в той час як ітерація сусідів vз u, вузол зустрічається з GRAYкольором.

Наступний код Python - це адаптація псевдокоду CLRS із ifдоданим пунктом, який визначає цикли:

import collections


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges
        self.adj = Graph._build_adjacency_list(edges)

    @staticmethod
    def _build_adjacency_list(edges):
        adj = collections.defaultdict(list)
        for edge in edges:
            adj[edge[0]].append(edge[1])
        return adj


def dfs(G):
    discovered = set()
    finished = set()

    for u in G.adj:
        if u not in discovered and u not in finished:
            discovered, finished = dfs_visit(G, u, discovered, finished)


def dfs_visit(G, u, discovered, finished):
    discovered.add(u)

    for v in G.adj[u]:
        # Detect cycles
        if v in discovered:
            print(f"Cycle detected: found a back edge from {u} to {v}.")

        # Recurse into DFS tree
        if v not in finished:
            dfs_visit(G, v, discovered, finished)

    discovered.remove(u)
    finished.add(u)

    return discovered, finished


if __name__ == "__main__":
    G = Graph([
        ('u', 'v'),
        ('u', 'x'),
        ('v', 'y'),
        ('w', 'y'),
        ('w', 'z'),
        ('x', 'v'),
        ('y', 'x'),
        ('z', 'z')])

    dfs(G)

Зауважте, що в цьому прикладі timeпсевдокод CLRS не фіксується, оскільки нас цікавить лише виявлення циклів. Існує також деякий код котла для побудови графіку подання списку суміжності зі списку ребер.

Коли цей сценарій виконується, він друкує такий вихід:

Cycle detected: found a back edge from x to v.
Cycle detected: found a back edge from z to z.

Це саме задні ребра в прикладі на CLRS Малюнок 22.4.

Почніть з DFS: цикл існує тоді і лише тоді, коли під час DFS виявлено зворотний край . Це доведено як результат теорію білого контуру.

На мою думку, найбільш зрозумілим алгоритмом виявлення циклу у спрямованому графіку є графік-колорит-алгоритм.

В основному алгоритм забарвлення графіка поводить графік в DFS-манері («Поглиблений перший пошук», що означає, що він вивчає шлях повністю перед вивченням іншого шляху). Коли він знаходить зворотний край, він позначає графік як містить цикл.

Для глибшого пояснення алгоритму забарвлення графіків читайте цю статтю: http://www.geeksforgeeks.org/detect-cycle-direct-graph-using-colors/

Також я забезпечую реалізацію розфарбовування графіків у JavaScript https://github.com/dexcodeinc/graph_algorithm.js/blob/master/graph_algorithm.js

Якщо ви не можете додати властивість "відвідане" до вузлів, використовуйте набір (або карту) і просто додайте всі нагадані вузли до набору, якщо вони вже відсутні. Використовуйте унікальний ключ або адресу об'єктів як "ключ".

Це також дає вам інформацію про "кореневий" вузол циклічної залежності, який стане у нагоді, коли користувачеві доведеться вирішити проблему.

Ще одне рішення - спробувати знайти наступну залежність, яку слід виконати. Для цього у вас повинен бути якийсь стек, де ви можете запам'ятати, де ви зараз, і що вам потрібно зробити далі. Перевірте, чи залежність вже є у цьому стеку, перш ніж її виконати. Якщо це так, ви знайшли цикл.

Хоча це може здатися складною O (N * M), ви повинні пам’ятати, що стек має дуже обмежену глибину (тому N малий) і що M стає меншою з кожною залежністю, яку ви можете перевірити як «виконаний» плюс Ви можете зупинити пошук, коли знайшли аркуш (так що ніколи не доведеться перевіряти кожен вузол -> M теж буде малим).

У MetaMake я створив графік як список списків, а потім видалив кожен вузол, коли я їх виконував, що природно скорочувало обсяг пошуку. Мені ніколи насправді не доводилося запускати незалежну перевірку, все відбувалося автоматично під час звичайного виконання.

Якщо вам потрібен режим "лише для тестування", просто додайте прапор "сухого виконання", який відключає виконання фактичних завдань.

Не існує алгоритму, який би міг знайти всі цикли у спрямованому графіку в поліноміальний час. Припустимо, спрямований графік має n вузлів, і кожна пара вузлів має з'єднання один з одним, а значить, у вас є повний графік. Отже, будь-яке непусте підмножина цих n вузлів вказує на цикл, і існує 2 ^ n-1 кількість таких підмножин. Отже, не існує алгоритму багаточленного часу. Отже, припустимо, у вас є ефективний (нерозумний) алгоритм, який може повідомити вам кількість спрямованих циклів у графіку, ви можете спочатку знайти сильно пов'язані компоненти, а потім застосувати свій алгоритм до цих підключених компонентів. Оскільки цикли існують лише всередині компонентів, а не між ними.

Я реалізував цю проблему в sml (імперативне програмування). Ось контур. Знайдіть усі вузли, які мають 0 або інгредієнт 0. Такі вузли не можуть бути частиною циклу (тому видаліть їх). Далі видаліть усі вхідні або вихідні краї з таких вузлів. Рекурсивно застосуйте цей процес до отриманого графіка. Якщо в кінці у вас не залишилося жодного вузла чи ребра, графік не має циклів, інакше він має.

Як я це роблю, це робити топологічний Сортування, рахуючи кількість відвіданих вершин. Якщо це число менше загальної кількості вершин у DAG, у вас є цикл.

/mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length Мені подобається це рішення найкраще спеціально на 4 довжини :)

Також майстер фізики каже, що вам доведеться робити O (V ^ 2). Я вважаю, що нам потрібно лише O (V) / O (V + E). Якщо графік підключений, DFS відвідає всі вузли. Якщо графік підключив під графіки, то кожного разу, коли ми запускаємо DFS на вершину цього під графіку, ми знаходимо підключені вершини і не повинні їх враховувати для наступного запуску DFS. Тому можливість запуску для кожної вершини неправильна.

Якщо DFS знайде край, який вказує на вже відвідану вершину, у вас є цикл.

Як ви сказали, у вас встановлено безліч завдань, його потрібно виконати в певному порядку. Topological sortдано вам необхідний порядок планування робочих місць (або для проблем із залежністю, якщо він є direct acyclic graph). Запустіть dfsі підтримуйте список і почніть додавати вузол на початку списку, і якщо ви зіткнулися з уже відвіданим вузлом. Потім ви знайшли цикл у заданому графіку.

Якщо графік задовольняє цій властивості

|e| > |v| - 1

то графік містить щонайменше на циклі.