Який найшвидший спосіб обчислити гріх і союз разом?

Я хотів би разом обчислити як синус, так і косинус значення (наприклад, створити матрицю обертання). Звичайно, я міг би їх обчислити окремо один за одним, як a = cos(x); b = sin(x);, але мені цікаво, чи існує швидший спосіб, коли потрібні обидва значення.

Редагувати: Щоб узагальнити відповіді поки що:

• Влад сказав, що є команда asm, якаFSINCOSобчислює їх обох (майже в той самий час, що і дзвінок наFSINсамоту)

• Як зауважив Chi , цю оптимізацію іноді вже робить компілятор (при використанні оптимізаційних прапорів).

• CAF зазначив, що функціїsincosіsincosf, ймовірнодоступні і можуть бути викликані безпосередньо тількитому числіmath.h

• Танаційний підхід використання оглядової таблиці обговорюється суперечливо. (Однак на моєму комп’ютері та в еталонній ситуації він працює в 3 рази швидше, ніжsincosмайже з однаковою точністю для 32-бітних плаваючих точок.)

• Джоел Гудвін пов’язаний із цікавим підходом надзвичайно швидкої методики наближення з досить хорошою точністю (для мене це ще швидше, ніж огляд таблиці)

Сучасні процесори Intel / AMD мають інструкцію FSINCOSобчислення функцій синуса і косинуса одночасно. Якщо вам потрібна сильна оптимізація, можливо, вам слід скористатися нею.

Ось невеликий приклад: http://home.broadpark.no/~alein/fsincos.html

Ось ще один приклад (для MSVC): http://www.codeguru.com/forum/showthread.php?t=328669

Ось ще один приклад (з gcc): http://www.allegro.cc/forums/thread/588470

Сподіваюся, хтось із них допомагає. (Вибачте, я не користувався цією інструкцією.)

Оскільки вони підтримуються на рівні процесора, я очікую, що вони будуть набагато швидшими, ніж пошук таблиць.

Редагувати:
Вікіпедія передбачає, що FSINCOSдодано 387 процесорів, тому навряд чи можна знайти процесор, який не підтримує його.

Редагувати:
в документації Intel зазначено, що FSINCOSце приблизно в 5 разів повільніше FDIV(тобто поділ з плаваючою комою).

Редагувати:
Зверніть увагу, що не всі сучасні компілятори оптимізують обчислення синуса і косинуса в заклик до FSINCOS. Зокрема, мій VS 2008 цього не зробив.

Редагувати:
Перше приклад посилання є мертвим, але на машині Wayback все ще є версія .

Сучасні процесори x86 мають інструкцію fsincos, яка буде виконувати саме те, що ви просите - одночасно обчислити sin і cos. Хороший оптимізуючий компілятор повинен виявити код, який обчислює sin та cos для одного і того ж значення, і використовувати команду fsincos для його виконання.

Для цього знадобилося кілька подвійних прапорів компілятора, але:

$ gcc --version
i686-apple-darwin9-gcc-4.0.1 (GCC) 4.0.1 (Apple Inc. build 5488)
Copyright (C) 2005 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

$ cat main.c
#include <math.h> 

struct Sin_cos {double sin; double cos;};

struct Sin_cos fsincos(double val) {
  struct Sin_cos r;
  r.sin = sin(val);
  r.cos = cos(val);
  return r;
}

$ gcc -c -S -O3 -ffast-math -mfpmath=387 main.c -o main.s

$ cat main.s
    .text
    .align 4,0x90
.globl _fsincos
_fsincos:
    pushl   %ebp
    movl    %esp, %ebp
    fldl    12(%ebp)
    fsincos
    movl    8(%ebp), %eax
    fstpl   8(%eax)
    fstpl   (%eax)
    leave
    ret $4
    .subsections_via_symbols

Тада, він використовує інструкцію fsincos!

Коли вам потрібна продуктивність, ви можете використовувати попередньо обчислену таблицю sin / cos (одна таблиця буде робити, зберігається як словник). Ну, це залежить від потрібної вам точності (можливо, стіл буде великий), але це має бути дійсно швидким.

Технічно ви могли б досягти цього, використовуючи складні числа та формулу Ейлера . Таким чином, щось на кшталт (C ++)

complex<double> res = exp(complex<double>(0, x));
// or equivalent
complex<double> res = polar<double>(1, x);
double sin_x = res.imag();
double cos_x = res.real();

повинні дати вам синус і косинус за один крок. Як це робиться всередині - це питання про компілятор і бібліотеку, яка використовується. Це може (і міць) також займе більше часу , щоб зробити це таким чином (просто тому , що формула Ейлера в основному використовується для розрахунку комплексу з expвикористанням sinі cos- а не навпаки) , але там можуть бути деякі теоретичні оптимізації можливо.

Редагувати

У заголовках <complex>для GNU C ++ 4.2 використовуються чіткі обчислення sinі cosвсередині polar, тому це не дуже добре для оптимізацій там, якщо компілятор не зробить якусь магію (див. -ffast-mathТа -mfpmathперемикачі, як написано у відповіді Чи ).

Ви можете обчислити або використати ідентифікацію:

cos (x) 2 = 1 - sin (x) 2

але як говорить @tanascius, попередньо обчислена таблиця - це шлях.

Якщо ви використовуєте бібліотеку GNU C, тоді ви можете:

#define _GNU_SOURCE
#include <math.h>

і ви отримаєте декларації sincos(), sincosf()і sincosl()функції , які обчислюють обидва значення разом - по- видимому , в найшвидшому способі для вашої цільової архітектури.

На цій сторінці форуму є дуже цікавий матеріал, який зосереджений на пошуку швидких наближень, які швидко проходять: http://www.devmaster.net/forums/showthread.php?t=5784

Відмова від відповідальності: Я не використовував жоден із цих матеріалів сам.

Оновлення 22 лютого 2018 року: Wayback Machine - єдиний спосіб відвідати початкову сторінку зараз: https://web.archive.org/web/20130927121234/http://devmaster.net/posts/9648/fast-and-accurate- синус-косинус

У багатьох бібліотеках математики C, як вказує caf, вже є sincos (). Помітний виняток - MSVC.

• У Sun є синкос () щонайменше з 1987 року (двадцять три роки; у мене є сторінка людини на папері)
• HPUX 11 мав це в 1997 році (але це не в HPUX 10.20)
• Додано до glibc у версії 2.1 (лютий 1999)
• Став вбудованим в gcc 3.4 (2004), __builtin_sincos ().

Щодо пошуку, Ерік С. Реймонд у програмі « Мистецтво програмування Unix» (2004 р.) (Глава 12) прямо говорить про це «Погана ідея» (на даний момент часу):

"Інший приклад - попередньо обчислити невеликі таблиці - наприклад, таблиця sin (x) за ступенем для оптимізації обертів у 3D графічному двигуні займе 365 × 4 байти на сучасній машині. Перш ніж процесори отримали достатньо швидкість, ніж пам'ять, щоб вимагати кешування це було очевидною оптимізацією швидкості. Сьогодні може бути швидше перераховувати кожен раз, а не платити за відсоток додаткових пропусків кешу, викликаних таблицею.

"Але в майбутньому це може знову повернутися, коли кеші збільшуються. Більш загально, багато оптимізацій є тимчасовими і можуть легко перетворитися на песимізацію, оскільки змінюються коефіцієнти витрат. Єдиний спосіб знати - це вимірювати та бачити". (з мистецтва програмування Unix )

Але, судячи з обговорення вище, не всі згодні.

Я не вірю, що таблиці пошуку обов'язково є хорошою ідеєю для цієї проблеми. Якщо ваші вимоги до точності дуже низькі, стіл повинен бути дуже великим. І сучасні процесори можуть робити багато обчислень, тоді як значення отримується з основної пам'яті. Це не одне з тих питань, на які можна правильно відповісти аргументом (навіть не моїм), перевірити та виміряти та врахувати дані.

Але я б придивився до швидких реалізацій SinCos, які ви знайдете в таких бібліотеках, як ACML AMD та Intel MKL.

Якщо ви готові використовувати комерційний продукт і одночасно обчислюєте кількість обчислень greh / cos (щоб ви могли використовувати векторовані функції), слід ознайомитися з бібліотекою математичних ядер Intel від Intel.

Він має функцію sincos

Згідно з цією документацією, він в середньому складає 13,08 годин / елемент на дуеті 2 в режимі високої точності, що, думаю, буде навіть швидше, ніж у fsincos.

У цій статті показано, як побудувати параболічний алгоритм, який генерує як синус, так і косинус:

DSP трюк: одночасне параболічне наближення гріха і сос

http://www.dspguru.com/dsp/tricks/parabolic-approximation-of-sin-and-cos

Коли продуктивність має вирішальне значення для подібних речей, незвично вводити таблицю пошуку.

Щодо творчого підходу, як щодо розширення серії Тейлора? Оскільки вони мають подібні умови, ви можете зробити щось на кшталт наступного псевдо:

numerator = x
denominator = 1
sine = x
cosine = 1
op = -1
fact = 1

while (not enough precision) {
    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    cosine += op * numerator / denominator

    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    sine += op * numerator / denominator

    op *= -1
}

Це означає, що ви робите щось подібне: починаючи з x і 1 для гріха і косинуса, дотримуйтесь шаблону - віднімайте x ^ 2/2! від косинусу відніміть x ^ 3/3! від sine, додайте x ^ 4/4! до косинусу додайте x ^ 5/5! синус ...

Я не маю уявлення, чи це буде виконавцем. Якщо вам потрібна менша точність, ніж дають вам вбудований гріх () і cos (), це може бути варіантом.

У бібліотеці CEPHES є приємне рішення, яке може бути досить швидким, і ви можете додати / видалити точність досить гнучко за трохи більше / менший час процесора.

Пам’ятайте, що cos (x) і sin (x) - це реальна і уявна частини exp (ix). Отже, ми хочемо обчислити exp (ix), щоб отримати обидва. Ми попередньо підраховуємо exp (iy) для деяких дискретних значень y від 0 до 2pi. Зсуваємо х на інтервал [0, 2пі). Тоді вибираємо y, найближчий до x, і пишемо
exp (ix) = exp (iy + (ix-iy)) = exp (iy) exp (i (xy)).

Ми отримуємо exp (iy) з таблиці пошуку. А оскільки | xy | невелика (щонайбільше половина відстані між значеннями у), серія Тейлора буде добре сходитися всього за кілька термінів, тому ми використовуємо це для exp (i (xy)). І тоді нам просто потрібно складне множення, щоб отримати exp (ix).

Ще одна приємна властивість цього полягає в тому, що ви можете векторизувати його за допомогою SSE.

Ви можете поглянути на http://gruntthepeon.free.fr/ssemath/ , який пропонує SSE-векторизовану реалізацію, натхненну з бібліотеки CEPHES. Він має хорошу точність (максимальне відхилення від sin / cos в порядку 5e-8) та швидкість (трохи перевершує fsincos на основі одного виклику та чіткий переможець за кількома значеннями).

Я опублікував рішення, що включає вбудовану збірку ARM, здатну одночасно обчислювати синус і косинус двох кутів: Швидкий синус / косинус для ARMv7 + NEON

Точне, але швидке наближення функції sin та cos одночасно, у javascript, можна знайти тут: http://danisraelmalta.github.io/Fmath/ (легко імпортується до c / c ++)

Ви думали про оголошення таблиць пошуку для двох функцій? Вам все одно доведеться "обчислювати" sin (x) і cos (x), але це було б рівно швидше, якщо вам не потрібен високий ступінь точності.

Компілятор MSVC може використовувати (внутрішні) функції SSE2

 ___libm_sse2_sincos_ (for x86)
 __libm_sse2_sincos_  (for x64)

в оптимізованих складах, якщо вказані відповідні прапорці компілятора (як мінімум / O2 / arch: SSE2 / fp: fast). Назви цих функцій, мабуть, означають, що вони обчислюють не окремий гріх і cos, а обидві "в один крок".

Наприклад:

void sincos(double const x, double & s, double & c)
{
  s = std::sin(x);
  c = std::cos(x);
}

Збірка (для x86) з / fp: швидко:

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    ___libm_sse2_sincos_
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
shufpd  xmm0, xmm0, 1
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

Збірка (для x86) без / fp: швидко, але з / fp: точно замість цього (що за замовчуванням) викликає окремі sin і cos:

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_sin_precise
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_cos_precise
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

So / fp: fast є обов'язковим для оптимізації sincos.

Але врахуйте це

___libm_sse2_sincos_

може бути, не так точно, як

__libm_sse2_sin_precise
__libm_sse2_cos_precise

через відсутність "точного" в кінці його назви.

У моїй «трохи» старшій системі (Intel Core 2 Duo E6750) з останнім компілятором MSVC 2019 та відповідними оптимізаціями мій показник показує, що виклик sincos приблизно в 2,4 рази швидший, ніж окремі дзвінки sin і cos.