Я хочу з'ясувати, лежить точка всередині прямокутника чи ні. Прямокутник може бути орієнтований будь-яким способом, і його не потрібно вирівнювати по осі.
Одним із методів, про який я міг подумати, було обертати прямокутник і координати точок, щоб вирівняти вісь прямокутника, а потім, просто перевіривши координати точки, знаходяться вони в межах прямокутника чи ні.
Вищевказаний метод вимагає обертання і, отже, операцій з плаваючою комою. Чи існує інший ефективний спосіб зробити це?
Відповіді:
Як зображений прямокутник? Три бали? Чотири бали? Точка, сторони та кут? Два бали і сторона? Щось ще? Не знаючи цього, будь-які спроби відповісти на ваше запитання матимуть виключно академічну цінність.
У будь-якому випадку для будь-якого опуклого багатокутника (включаючи прямокутник) тест дуже простий: перевірте кожне ребро багатокутника, припускаючи, що кожне ребро орієнтоване проти годинникової стрілки, і перевірте, чи лежить точка ліворуч від ребра (зліва -ручна напівплощина). Якщо всі краї пройшли тест - точка всередині. Якщо хоча б одна не вдається - справа назовні.
Для того, щоб перевірити, чи (xp, yp)лежить точка ліворуч від краю (x1, y1) - (x2, y2), потрібно просто обчислити
D = (x2 - x1) * (yp - y1) - (xp - x1) * (y2 - y1)
Якщо D > 0, справа в лівій частині. Якщо D < 0, справа в правому боці. Якщо D = 0, справа на прямій.
Попередня версія цієї відповіді описувала, здавалося б, іншу версію лівого бічного тесту (див. Нижче). Але можна легко показати, що він обчислює одне і те ж значення.
... Для того, щоб перевірити, чи (xp, yp)лежить точка ліворуч від ребра (x1, y1) - (x2, y2), потрібно побудувати рівняння лінії для лінії, що містить ребро. Рівняння виглядає наступним чином
A * x + B * y + C = 0
де
A = -(y2 - y1)
B = x2 - x1
C = -(A * x1 + B * y1)
Тепер все, що вам потрібно зробити, це обчислити
D = A * xp + B * yp + C
Якщо D > 0, справа в лівій частині. Якщо D < 0, справа в правому боці. Якщо D = 0, справа на прямій.
Однак цей тест знову працює для будь-якого опуклого багатокутника, а це означає, що він може бути занадто загальним для прямокутника. Прямокутник може дозволити більш простий тест ... Наприклад, у прямокутнику (або в будь-якому іншому паралелограмі) значення Aта Bмають однакову величину, але різні знаки для протилежних (тобто паралельних) ребер, які можна використовувати для спрощення тесту .
A'і B'можуть бути задані A'=Bі B'=-A. 3. Немає сенсу обчислювати A xp + B ypобидва ребра, тому об’єднайте їх в єдиний тест. Тоді ваш тест на перебування у прямокутнику стає (v_min < A xp + B yp < v_max) && ( w_min < B xp - A yp < w_max ).
v_minтощо?
v_minє мінімальним значенням A x + B yдля всіх значень у внутрішній частині прямокутника (що є мінімальним значенням при оцінці по кутах). v_max- відповідний максимум. Ці w_?значення однакові, але Bx - A y.
Якщо припустити, що прямокутник представлений трьома точками A, B, C, а AB і BC перпендикулярними, потрібно лише перевірити проекції точки запиту M на AB і BC:
0 <= dot(AB,AM) <= dot(AB,AB) &&
0 <= dot(BC,BM) <= dot(BC,BC)
ABє вектором AB з координатами (Bx-Ax, By-Ay) і dot(U,V)є точковим добутком векторів U і V:Ux*Vx+Uy*Vy .
Оновлення . Візьмемо приклад для ілюстрації: A (5,0) B (0,2) C (1,5) та D (6,3). З точкових координат отримуємо AB = (- 5,2), BC = (1,3), крапку (AB, AB) = 29, крапку (BC, BC) = 10.
Для точки запиту M (4,2) маємо AM = (- 1,2), BM = (4,0), крапка (AB, AM) = 9, крапка (BC, BM) = 4. М знаходиться всередині прямокутника.
Для точки запиту P (6,1) маємо AP = (1,1), BP = (6, -1), крапка (AB, AP) = - 3, крапка (BC, BP) = 3. P не знаходиться всередині прямокутника, оскільки його проекція на сторону AB не знаходиться всередині відрізка AB.
Я запозичив відповідь Еріка Бейнвіля:
0 <= dot(AB,AM) <= dot(AB,AB) && 0 <= dot(BC,BM) <= dot(BC,BC)
Що в javascript виглядає так:
function pointInRectangle(m, r) {
var AB = vector(r.A, r.B);
var AM = vector(r.A, m);
var BC = vector(r.B, r.C);
var BM = vector(r.B, m);
var dotABAM = dot(AB, AM);
var dotABAB = dot(AB, AB);
var dotBCBM = dot(BC, BM);
var dotBCBC = dot(BC, BC);
return 0 <= dotABAM && dotABAM <= dotABAB && 0 <= dotBCBM && dotBCBM <= dotBCBC;
}
function vector(p1, p2) {
return {
x: (p2.x - p1.x),
y: (p2.y - p1.y)
};
}
function dot(u, v) {
return u.x * v.x + u.y * v.y;
}
наприклад:
var r = {
A: {x: 50, y: 0},
B: {x: 0, y: 20},
C: {x: 10, y: 50},
D: {x: 60, y: 30}
};
var m = {x: 40, y: 20};
тоді:
pointInRectangle(m, r); // returns true.
Ось кодовий код для виведення результату як візуального тесту :) http://codepen.io/mattburns/pen/jrrprN
mouseoverподію у своєму проекті, тому всякий раз, коли миша перебуває над точкою, яка повинна знаходитися всередині прямокутника, вона буде відображати чорну крапку навколо миші, а поза прямокутником вона не повинна відображати нічого. Мені потрібна допомога, щоб змусити це запрацювати, але я такий розгублений.
mouseoverповинно бути mousemove, просто друкарська помилка.
# Pseudo code
# Corners in ax,ay,bx,by,dx,dy
# Point in x, y
bax = bx - ax
bay = by - ay
dax = dx - ax
day = dy - ay
if ((x - ax) * bax + (y - ay) * bay < 0.0) return false
if ((x - bx) * bax + (y - by) * bay > 0.0) return false
if ((x - ax) * dax + (y - ay) * day < 0.0) return false
if ((x - dx) * dax + (y - dy) * day > 0.0) return false
return true
a, bі d. Незважаючи на те, що три точки є теоретичним способом представити довільний прямокутник, на практиці це неможливо зробити точно в міжцифрових координатах, загалом. Як правило, у результаті вийде паралелограм, який дуже близький до прямокутника, але все ще не є прямокутником.
Я усвідомлюю, що це стара тема, але для тих, хто зацікавлений у тому, щоб поглянути на це з чисто математичної точки зору, тут є чудова тема для обміну стеками математики тут:
/math/190111/how-to-check-if-a-point-is-inside-a-rectangle
Редагувати: Натхненний цією темою, я створив простий векторний метод для швидкого визначення місця вашої точки зору.
Припустимо, у вас є прямокутник з точками в p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2), p3 = (x3, y3) і p4 = (x4, y4), що рухаються за годинниковою стрілкою. Якщо точка p = (x, y) лежить всередині прямокутника, то крапковий добуток (p - p1). (P2 - p1) лежить між 0 і | p2 - p1 | ^ 2 та (p - p1). (p4 - p1) лежить між 0 і | p4 - p1 | ^ 2. Це еквівалентно прийняттю проекції вектора p - p1 вздовж довжини та ширини прямокутника з початком p1.
Це може мати більше сенсу, якщо я покажу еквівалентний код:
p21 = (x2 - x1, y2 - y1)
p41 = (x4 - x1, y4 - y1)
p21magnitude_squared = p21[0]^2 + p21[1]^2
p41magnitude_squared = p41[0]^2 + p41[1]^2
for x, y in list_of_points_to_test:
p = (x - x1, y - y1)
if 0 <= p[0] * p21[0] + p[1] * p21[1] <= p21magnitude_squared:
if 0 <= p[0] * p41[0] + p[1] * p41[1]) <= p41magnitude_squared:
return "Inside"
else:
return "Outside"
else:
return "Outside"
І це все. Це також буде працювати для паралелограм.
bool pointInRectangle(Point A, Point B, Point C, Point D, Point m ) {
Point AB = vect2d(A, B); float C1 = -1 * (AB.y*A.x + AB.x*A.y); float D1 = (AB.y*m.x + AB.x*m.y) + C1;
Point AD = vect2d(A, D); float C2 = -1 * (AD.y*A.x + AD.x*A.y); float D2 = (AD.y*m.x + AD.x*m.y) + C2;
Point BC = vect2d(B, C); float C3 = -1 * (BC.y*B.x + BC.x*B.y); float D3 = (BC.y*m.x + BC.x*m.y) + C3;
Point CD = vect2d(C, D); float C4 = -1 * (CD.y*C.x + CD.x*C.y); float D4 = (CD.y*m.x + CD.x*m.y) + C4;
return 0 >= D1 && 0 >= D4 && 0 <= D2 && 0 >= D3;}
Point vect2d(Point p1, Point p2) {
Point temp;
temp.x = (p2.x - p1.x);
temp.y = -1 * (p2.y - p1.y);
return temp;}
Я щойно реалізував відповідь AnT за допомогою c ++. Я використав цей код, щоб перевірити, чи знаходиться координація пікселя (X, Y) всередині фігури чи ні.
Якщо вам не вдається вирішити проблему прямокутника, спробуйте розділити задачу на простіші. Поділіть прямокутник на 2 трикутники, щоб перевірити, чи знаходиться точка всередині будь-якого з них, як вони пояснюють тут
По суті, ви прокручуєте ребра на кожних двох парах ліній від точки. Потім за допомогою перехресного добутку перевірте, чи знаходиться точка між двома лініями, використовуючи поперечний добуток. Якщо це перевірено для всіх 3 точок, то точка знаходиться всередині трикутника. Гарна річ цього методу полягає в тому, що він не створює жодних помилок з плаваючою точкою, що трапляється, якщо ви перевіряєте кути.
Складіть рівняння для кожного l i . Рівняння:
f i (P) = 0.
Р - точка. Для точок, що належать до l i , рівняння відповідає дійсності.
Отже, ми повинні перевірити це:
f AB (P) f AB (C)> = 0
f до н. е. (P) f до н. е (D)> = 0
f CD (P) f CD (A)> = 0
f DA (P) f DA (B)> = 0
Нерівності не є строгими, бо якщо точка знаходиться на межі, вона також належить до прямокутника. Якщо вам не потрібні точки на кордоні, ви можете змінити нерівності на суворі. Але поки ви працюєте в операціях з плаваючою комою, вибір не має значення.
Залишилось лише отримати рівняння для прямої, що проходить через дві точки. Це добре відоме лінійне рівняння. Запишемо це для прямої AB і точки P:
f AB (P) ≡ (x A -x B ) (y P -y B ) - (y A -y B ) (x P -x B )
Перевірку можна було б спростити - підемо вздовж прямокутника за годинниковою стрілкою - A, B, C, D, A. Тоді всі правильні сторони будуть праворуч від ліній. Отже, нам не потрібно порівнювати зі стороною, де знаходиться інша вершина. І нам потрібно перевірити набір коротших нерівностей:
f AB (P)> = 0
f BC (P)> = 0
f CD (P)> = 0
f DA (P)> = 0
Але це правильно для звичайного, математичного (зі шкільної математики) набору координат, де X - праворуч, а Y - зверху. А для координат геодезії , як це використовується в GPS, де X - зверху, а Y - праворуч, ми повинні повернути нерівності:
f AB (P) <= 0
f BC (P) <= 0
f CD (P) <= 0
f DA (P) <= 0
Якщо ви не впевнені в напрямках осей, будьте обережні з цією спрощеною перевіркою - перевірте наявність однієї точки з відомим розташуванням, якщо ви вибрали правильні нерівності.
Найпростіший спосіб, про який я думав, - це просто спроектувати точку на вісь прямокутника. Дозволь пояснити:
Якщо ви можете отримати вектор від центру прямокутника до верхнього або нижнього краю та лівого чи правого краю. І у вас також є вектор від центру прямокутника до вашої точки, ви можете проектувати цю точку на свої вектори ширини та висоти.
P = вектор точки, H = вектор висоти, W = вектор ширини
Отримайте одиничний вектор W ', H', поділивши вектори на їх величину
proj_P, H = P - (P.H ') H' proj_P, W = P - (P.W ') W'
Якщо я не помилився, чого я не вважаю ... (Виправте мене, якщо я помиляюся), але якщо величина проекції вашої точки на вектор висоти менша, ніж величина вектора висоти (яка дорівнює половина висоти прямокутника) і величина проекції вашої точки на вектор ширини дорівнює, тоді у вас є точка всередині вашого прямокутника.
Якщо у вас є універсальна система координат, можливо, вам доведеться з’ясувати вектори висоти / ширини / точки за допомогою векторного віднімання. Векторні проекції дивовижні! пам'ятайте, що.
Продовжуючи матс відповідь. нам потрібно використовувати рішення /math/190111/how-to-check-if-a-point-is-inside-a-rectangle/190373#190373, щоб воно працювало
Внизу не працює
0 <= крапка (AB, AM) <= крапка (AB, AB) && 0 <= крапка (BC, BM) <= крапка (BC, BC)
Нижче працює
0 <= крапка (AB, AM) <= крапка (AB, AB) && 0 <= крапка (AM, AC) <= крапка (AC, AC)
Ви перевіряєте, вставляючи нижче в консоль javascript // Рішення Javascript для того самого
var screenWidth = 320;
var screenHeight = 568;
var appHeaderWidth = 320;
var AppHeaderHeight = 65;
var regionWidth = 200;
var regionHeight = 200;
this.topLeftBoundary = {
A: {x: 0, y: AppHeaderHeight},
B: {x: regionWidth, y: AppHeaderHeight},
C: {x: 0, y: regionHeight + AppHeaderHeight},
D: {x: regionWidth, y: regionHeight + AppHeaderHeight}
}
this.topRightBoundary = {
A: {x: screenWidth, y: AppHeaderHeight},
B: {x: screenWidth - regionWidth, y: AppHeaderHeight},
C: {x: screenWidth, y: regionHeight + AppHeaderHeight},
D: {x: screenWidth - regionWidth, y: regionHeight + AppHeaderHeight}
}
this.bottomRightBoundary = {
A: {x: screenWidth, y: screenHeight},
B: {x: screenWidth - regionWidth, y: screenHeight},
C: {x: screenWidth, y: screenHeight - regionHeight},
D: {x: screenWidth - regionWidth, y: screenHeight - regionHeight}
}
this.bottomLeftBoundary = {
A: {x: 0, y: screenHeight},
B: {x: regionWidth, y: screenHeight},
C: {x: 0, y: screenHeight - regionHeight},
D: {x: regionWidth, y: screenHeight - regionHeight}
}
console.log(this.topLeftBoundary);
console.log(this.topRightBoundary);
console.log(this.bottomRightBoundary);
console.log(this.bottomLeftBoundary);
checkIfTapFallsInBoundary = function (region, point) {
console.log("region " + JSON.stringify(region));
console.log("point" + JSON.stringify(point));
var r = region;
var m = point;
function vector(p1, p2) {
return {
x: (p2.x - p1.x),
y: (p2.y - p1.y)
};
}
function dot(u, v) {
console.log("DOT " + (u.x * v.x + u.y * v.y));
return u.x * v.x + u.y * v.y;
}
function pointInRectangle(m, r) {
var AB = vector(r.A, r.B);
var AM = vector(r.A, m);
var AC = vector(r.A, r.C);
var BC = vector(r.B, r.C);
var BM = vector(r.B, m);
console.log("AB " + JSON.stringify(AB));
console.log("AM " + JSON.stringify(AM));
console.log("AM " + JSON.stringify(AC));
console.log("BC " + JSON.stringify(BC));
console.log("BM " + JSON.stringify(BM));
var dotABAM = dot(AB, AM);
var dotABAB = dot(AB, AB);
var dotBCBM = dot(BC, BM);
var dotBCBC = dot(BC, BC);
var dotAMAC = dot(AM, AC);
var dotACAC = dot(AC, AC);
console.log("ABAM " + JSON.stringify(dotABAM));
console.log("ABAB " + JSON.stringify(dotABAB));
console.log("BCBM " + JSON.stringify(dotBCBM));
console.log("BCBC " + JSON.stringify(dotBCBC));
console.log("AMAC " + JSON.stringify(dotAMAC));
console.log("ACAC" + JSON.stringify(dotACAC));
var check = ((0 <= dotABAM && dotABAM <= dotABAB) && (0 <= dotBCBM && dotBCBM <= dotBCBC));
console.log(" first check" + check);
var check = ((0 <= dotABAM && dotABAM <= dotABAB) && (0 <= dotAMAC && dotAMAC <= dotACAC));
console.log("second check" + check);
return check;
}
return pointInRectangle(m, r);
}
//var point = {x: 136, y: 342};
checkIfTapFallsInBoundary(topLeftBoundary, {x: 136, y: 342});
checkIfTapFallsInBoundary(topRightBoundary, {x: 136, y: 274});
checkIfTapFallsInBoundary(bottomRightBoundary, {x: 141, y: 475});
checkIfTapFallsInBoundary(bottomRightBoundary, {x: 131, y: 272});
checkIfTapFallsInBoundary(bottomLeftBoundary, {x: 131, y: 272});