Скільки подвійних чисел між 0,0 і 1,0?

Question 1

Це те, що мені запам’яталось роками, але я ніколи раніше не знайшов часу, щоб запитати.

Багато генераторів випадкових чисел (псевдо) генерують випадкове число від 0,0 до 1,0. Математично в цьому діапазоні є нескінченні числа, але doubleце число з плаваючою комою і, отже, має кінцеву точність.

Тож питання такі:

Скільки всього doubleчисел між 0,0 і 1,0?
Чи стільки ж цифр від 1 до 2? Між 100 і 101? Між 10 ^ 100 і 10 ^ 100 + 1?

Примітка: якщо це має значення, мене цікавить, doubleзокрема , визначення Java .

Question 2

Java doubleмають формат IEEE-754 , тому вони мають 52-бітову частку; між будь-якими двома сусідніми степенями двох (включаючи одну та doubleвиключуючи наступну), отже, буде від 2 до 52- ї потужності різних s (тобто 4503599627370496 з них). Наприклад, це кількість різних doubles між 0,5 включеними та 1,0 виключеними, і саме стільки також лежить між 1,0 включеною та 2,0 виключеною тощо.

Підрахувати doublesвід 0,0 до 1,0 складніше, ніж зробити це між степенями двох, тому що в цей діапазон включено багато степенів двох, і, крім того, одна потрапляє в непрості питання денормалізованих чисел. 10 з 11 бітів показників охоплюють діапазон, про який йде мова, тому, включаючи денормалізовані числа (і, я думаю, кілька видів NaN), у вас буде 1024 рази більше doubles, ніж між степенями двох - не більше, ніж 2**62загалом . За винятком денормалізованих & c, я вважаю, що кількість буде 1023 рази 2**52.

Для довільного діапазону, такого як "100 до 100,1", це ще складніше, тому що верхня межа не може бути точно представлена як a double(не є точним кратним будь-якій потужності двох). Як зручне наближення, оскільки прогресія між степенями двох є лінійною, ви можете сказати, що зазначений діапазон складає 0.1 / 64th діапазону між оточуючими степенями двох (64 і 128), тож ви очікуєте приблизно

(0.1 / 64) * 2**52

чітке doubles - яке зводиться до 7036874417766.4004... дати або взяти один або два ;-).

Question 3

Кожне doubleзначення, подання якого знаходиться між 0x0000000000000000і 0x3ff0000000000000лежить в інтервалі [0,0, 1,0]. Це (2 ^ 62 - 2 ^ 52) різні значення (плюс-мінус пари залежно від того, чи вважаєте ви кінцеві точки).

Інтервал [1.0, 2.0] відповідає поданням між 0x3ff0000000000000і 0x400000000000000; це 2 ^ 52 різні значення.

Інтервал [100,0, 101,0] відповідає поданням між 0x4059000000000000і 0x4059400000000000; це 2 ^ 46 різних значень.

Не існує подвоєнь між 10 ^ 100 і 10 ^ 100 + 1 . Жодне з цих чисел неможливо представити з подвійною точністю, і між ними немає подвійних. Найближчими двома числами подвійної точності є:

99999999999999982163600188718701095...

і

10000000000000000159028911097599180...

Question 4

Інші вже пояснювали, що в діапазоні є приблизно 2 ^ 62 подвійних [0,0, 1,0].
(Це насправді не дивно: існує майже 2 ^ 64 чітких скінченних подвійних; з них половина є позитивними, і приблизно половина з них <1,0.)

Але ви згадуєте генератори випадкових чисел: зауважте, що генератор випадкових чисел, що генерує числа від 0,0 до 1,0, загалом не може створити всіх цих чисел; як правило, це буде видавати лише числа форми n / 2 ^ 53 з n цілим числом (див., наприклад, документацію Java для nextDouble ). Отже, зазвичай існує лише близько 2 ^ 53 (+/- 1, залежно від того, які кінцеві точки включені) можливих значень для random()вихідних даних. Це означає, що більшість подвійних значень у [0.0, 1.0] ніколи не буде створено.

Question 5

Стаття Нова математика Java, Частина 2: Числа з плаваючою комою від IBM пропонує такий фрагмент коду, щоб вирішити це (у плаваючих, але я підозрюю, що це працює і для подвійних):

public class FloatCounter {

    public static void main(String[] args) {
        float x = 1.0F;
        int numFloats = 0;
        while (x <= 2.0) {
            numFloats++;
            System.out.println(x);
            x = Math.nextUp(x);
        }
        System.out.println(numFloats);
    }
}

Вони мають про це коментар:

Виявляється, існує рівно 8 388 609 плаваючих місць від 1,0 до 2,0 включно; велика, але навряд чи незліченна нескінченність дійсних чисел, що існують у цьому діапазоні. Послідовні числа складають приблизно 0,0000001. Ця відстань називається ULP для одиниці найменшої точності або одиниці останнього місця.

Question 6

2 ^ 53 - розмір значення / мантиси 64-бітного числа з плаваючою комою, включаючи прихований біт.
Приблизно так, оскільки sifnificand фіксований, але показник змінюється.

Докладнішу інформацію див. У статті Вікіпедії .

Question 7

Двомісний Java - це двійковий64 номер IEEE 754.

Це означає, що нам потрібно врахувати:

Мантіса - 52 біт
Показником є 11-бітове число з 1023 зміщенням (тобто з доданим до нього 1023)
Якщо показник степеня дорівнює 0, а мантиса не дорівнює нулю, то число називають ненормованим

Це в основному означає, що в цілому існує 2 ^ 62-2 ^ 52 + 1 можливих подвійних подань, які згідно зі стандартом знаходяться між 0 і 1. Зверніть увагу, що 2 ^ 52 + 1 для видалення випадків ненормованого числа.

Пам'ятайте, що якщо мантиса додатна, але показник від'ємний, число є додатним, але менше 1 :-)

Для інших чисел це трохи складніше, тому що цілі числа краю не можуть бути точно представлені у поданні IEEE 754, і оскільки в експоненті є інші біти, які можуть представляти числа, тому чим більше число, тим менше різні значення.