Чи || і! операторів, достатніх для здійснення всіх можливих логічних виразів?

Логічний вираз ( a && b ) (як aі bє логічні значення) може бути записано , як !(!a || !b), наприклад. Чи це не означає, що &&це "нецікаво"? Чи означає це, що всі логічні вирази можна зробити лише за допомогою ||та !?

Так, як вказували інші відповіді, набір операторів, що складається з ||та !є функціонально повним . Ось конструктивний доказ цього, показуючи, як використовувати їх для вираження всіх шістнадцяти можливих логічних сполучників між булевими змінними Aта B:

• Правда :A || !A
• A NAND B :!A || !B
• B означає A :!B || A
• A означає B :!A || B
• АБО Б :A || B
• Не B :!B
• Не A :!A
• А XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• А XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A NOR B :!(A || B)
• A не означає B :!(!A || B)
• B не означає A :!(!B || A)
• А І В :!(!A || !B)
• Неправдиво :!(A || !A)

Зауважте, що і NAND, і NOR самі по собі функціонально завершені (що можна довести, використовуючи той самий метод вище), тому, якщо ви хочете перевірити, що набір операторів функціонально повний, достатньо показати, що ви можете виразити або NAND, або NOR з цим.

Ось графік, що показує діаграми Венна для кожного з перелічених вище сполучників:

[ джерело ]

Те, що ви описуєте, - це функціональна повнота .

Тут описаний набір логічних операторів, достатній для "вираження всіх можливих таблиць істинності". Ваш набір операторів Java, { ||, !}, достатньо; він відповідає набору {∨, ¬}, який перелічено у розділі "Мінімально функціонально завершені набори операторів".

Набір усіх таблиць істинності означає всі можливі набори з 4 булевих значень, які можуть бути результатом операції між двома булевими значеннями. Оскільки для булевих значень є 2 можливі значення, є 2 ⁴ або 16 можливих таблиць істинності.

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

Нижче наведена таблиця з чисел таблиці істинності (0-15), то ||і !комбінацій , які дають його, і опис.

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Існує безліч інших таких функціонально повних наборів, включаючи набори одного елемента {NAND} і {NOR}, які не мають відповідних одиночних операторів на Java.

Так.

Всі логічні ворота можуть бути зроблені з воріт NOR.

Оскільки ворота NOR можуть бути зроблені з NOT та OR, результат випливає наступним чином.

Знайдіть час, щоб прочитати закони DeMorgan, якщо можете.

Відповідь ви знайдете в прочитаному там же, а також посилання на логічні докази.

Але по суті, відповідь - так.

EDIT : Щодо ясності, я можу сказати, що з логічного виразу можна вивести ІЛИ вираз І, і навпаки. Існує і більше законів для логічної еквівалентності та умовиводу, але я вважаю, що це найбільше підходить.

EDIT 2 : Ось доказ через таблицю істинності, що показує логічну еквівалентність наступного виразу.

Закон ДеМоргана: !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| А | Б | ! A | ! Б | ! A || ! Б | ! (! A ||! B) | A&& B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NAND і NOR є універсальними, їх можна використовувати для створення будь-якої логічної операції, яку ви хочете в будь-якому місці; Інші оператори доступні на мовах програмування для полегшення запису та створення читабельних кодів.

Крім того, всі логічні операції, які необхідні для з'єднання в ланцюзі, також розроблені, використовуючи або ІС NAND, або NOR тільки.

Так, згідно з булевою алгеброю, будь-яка булева функція може бути виражена у вигляді суми minterms або добутку maxterms, що називається канонічною нормальною формою . Немає жодної причини, по якій таку логіку не можна було б застосувати до тих самих операторів, які використовуються в інформатиці.

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form