Як виконати розміщення експоненціальної та логарифмічної кривих в Python? Я знайшов лише поліномічну підгонку

У мене є набір даних, і я хочу порівнювати, який рядок найкраще описує це (поліноми різних порядків, експоненціальні або логарифмічні).

Я використовую Python та Numpy, а для поліноміального розміщення є функція polyfit(). Але я не знайшов таких функцій для експоненціальної та логарифмічної підгонки.

Чи є? Або як вирішити це інакше?

Для установки y = A + B log x , просто встановіть y проти (log x ).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

Для установки у = Ae ^Bx , візьміть логарифм обох сторін дає лог у = увійти A + Bx . Так підходить (log y ) проти x .

Зауважте, що встановлення (log y ) як би лінійне підкреслить малі значення y , викликаючи великі відхилення для великих y . Це тому, що polyfit(лінійна регресія) працює, мінімізуючи ∑ _i (Δ Y ) ² = ∑ _i ( Y _i - Ŷ _i ) ² . Коли Y _i = log y _i , залишки Δ Y _i = Δ (log y _i ) ≈ Δ y _i / | y _i |. Так що навіть якщоpolyfitприймає дуже погане рішення для великих у , "розділити на | у |" фактор компенсує це, спричиняючи polyfitпереваги невеликих значень.

Це можна усунути, надавши кожному запису "вагу", пропорційну y . polyfitпідтримує зважені найменші квадрати через wаргумент ключового слова.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Зауважте, що Excel, LibreOffice та більшість наукових калькуляторів, як правило, використовують не зважену (упереджену) формулу для експоненціальних регресій / тенденційних ліній. Якщо ви хочете, щоб ваші результати були сумісні з цими платформами, не включайте ваги, навіть якщо це дає кращі результати.

Тепер, якщо ви можете використовувати scipy, ви можете використати scipy.optimize.curve_fitбудь-яку модель без перетворень.

Для y = A + B log x результат такий самий, як метод перетворення:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

Для y = Ae ^Bx , однак, ми можемо краще підходити, оскільки він обчислює Δ (log y ) безпосередньо. Але нам потрібно надати ініціалізаційну здогадку, щоб curve_fitдосягти бажаного локального мінімуму.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Ви також можете помістити набір з даних до будь-якої функції , яку ви , як з допомогою curve_fitз scipy.optimize. Наприклад, якщо ви хочете встановити експоненціальну функцію (з документації ):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

І тоді, якщо ви хочете зробити змову, ви можете зробити:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(Примітка: *перед , poptколи сюжет буде розширюватися поза термінів в a, bі cщо func. Чекає)

У мене були проблеми з цим, тому дозвольте мені бути дуже явним, щоб нуди, як я, могли зрозуміти.

Скажімо, у нас є файл даних або щось подібне

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

результат: a = 0,849195983017, b = -1,18101681765, c = 2,24061176543, d = 0,816643894816

Я думаю, ви завжди можете використовувати:

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

Трохи модифікуючи відповідь IanVS :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

Результатом цього є наступний графік:

Ось варіант лінеаризації для простих даних, які використовують інструменти з scikit learn .

Дано

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

Код

Встановити експоненціальні дані

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

Встановити дані журналу

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

Деталі

Загальні кроки

1. Застосувати операцію журналу до значень даних ( x, yабо обидва)
2. Регресуйте дані в лінеаризовану модель
3. Накресліть, "обернувши" будь-які операції журналу (з np.exp()) та пристосуйте до вихідних даних

Якщо припустити, що наші дані слідують експоненціальній тенденції, загальне рівняння ⁺ може бути:

Ми можемо лінеаризувати останнє рівняння (наприклад, y = перехоплення + нахил * x), взявши журнал :

Давши лінійне рівняння ⁺⁺ та параметри регресії, ми могли обчислити:

• Aчерез intercept ( ln(A))
• Bчерез нахил ( B)

Короткий зміст методів лінеаризації

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

_{⁺ Примітка: лінеаризація експоненціальних функцій найкраще працює, коли шум невеликий і C = 0. Використовуйте обережно.}

_{⁺⁺ Примітка: хоча зміна даних x допомагає лінеалізувати експоненціальні дані, зміна даних y допомагає лінеаризувати дані журналу .}

Ми демонструємо особливості lmfitвирішення обох завдань.

Дано

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

Код

Підхід 1 - lmfitМодель

Встановити експоненціальні дані

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

Підхід 2 - Спеціальна модель

Встановити дані журналу

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

Деталі

1. Виберіть клас регресії
2. Поставлена ​​назва, початкові здогадки, що стосуються домену функції

Визначити параметри, які можна зробити з об'єкта регресора. Приклад:

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

Примітка: далі ExponentialModel()йде функція занепаду , яка приймає два параметри, один з яких від'ємний.

Дивіться також ExponentialGaussianModel(), що приймає більше параметрів .

Встановіть бібліотеку через > pip install lmfit.

Вольфрам має рішення закритої форми для встановлення експоненціалу . Вони також мають подібні рішення для встановлення логарифмічного та силового закону .

Я виявив, що це працює краще, ніж крива_фіт scipy. Ось приклад:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()