Чому праймери важливі в криптографії?

Одне, що завжди вражає мене як некриптографа: Чому так важливо користуватися номерами Prime? Що робить їх настільки особливими в криптографії?

Хтось має просте коротке пояснення? (Я знаю, що є багато праймерів і що Прикладна криптографія - це Біблія, але як сказано: я не хочу реалізувати свій власний криптографічний алгоритм, а речі, які я знайшов, просто змусили мій мозок вибухнути - немає 10 сторінок математичних формул будь ласка :))

Дякую за всі відповіді. Я прийняв той, який зробив найбільш зрозумілу для мене фактичну концепцію.

Найбільш основне і загальне пояснення: криптографія - це теорія чисел , і всі цілі числа (крім 0 і 1) складаються з простих чисел, тому ви багато займаєтеся з праймами в теорії чисел.

Більш конкретно, деякі важливі криптографічні алгоритми, такі як RSA, критично залежать від того, що основна факторизація великих чисел займає тривалий час. В основному у вас є "відкритий ключ", що складається з добутку двох великих праймерів, які використовуються для шифрування повідомлення, та "секретного ключа", що складається з цих двох прайменів, які використовуються для розшифрування повідомлення. Ви можете зробити відкритий ключ загальнодоступним, і кожен може використовувати його для шифрування повідомлень, але лише ви знаєте основні фактори і можете розшифрувати повідомлення. Всім іншим доведеться підраховувати число, яке займає занадто багато часу, щоб бути практичним, враховуючи сучасний стан теорії чисел.

Простий? Так.

Якщо ви помножите два великих простих числа, ви отримаєте величезне непросте число з лише двома (великими) простими множниками.

Факторинг цього числа є нетривіальною операцією, і цей факт є джерелом безлічі криптографічних алгоритмів. Для отримання додаткової інформації див. Односторонні функції .

Додаток: Ще трохи пояснення. Добуток двох простих чисел може використовуватися як відкритий ключ, а самі праймери - як приватний ключ. Будь-яка операція, зроблена з даними, які можна скасувати лише завдяки знанню одного з двох факторів, буде нетривіальною для розшифровки.

Ось дуже простий і поширений приклад.

Алгоритм шифрування RSA , який зазвичай використовується в безпечної комерції веб - сайтів, заснований на тому факті , що легко взяти два (дуже великих) простих чисел і помножити їх, в той час як це надзвичайно важко зробити зворотне - значить: взяти дуже велика кількість, враховуючи, що в ньому є лише два основні фактори, і їх знайти.

Важливі не стільки самі прості числа, скільки алгоритми, які працюють з праймерами. Зокрема, знаходження факторів числа (будь-яке число).

Як відомо, будь-яке число має щонайменше два фактори. Прості числа мають унікальну властивість у тому, що вони мають рівно два чинники: 1 і вони самі.

Причина факторингу є настільки важливою, що математики та вчені-комп’ютери не знають, як підрахувати число, не намагаючись провести всі можливі комбінації. Тобто спочатку спробуйте ділити на 2, потім на 3, потім на 4 тощо. Якщо ви спробуєте підрахувати просте число - особливо дуже велике - вам доведеться спробувати (по суті) всі можливі числа між 2 і великим простим числом. Навіть на найшвидших комп'ютерах знадобляться роки (навіть століття), щоб визначити види простих чисел, які використовуються в криптографії.

Справа в тому, що ми не знаємо, як ефективно розподілити велику кількість, що надає криптографічним алгоритмам їх силу. Якщо одного дня хтось з'ясує, як це зробити, всі криптографічні алгоритми, якими ми користуємося, стануть застарілими. Це залишається відкритою сферою досліджень.

Тому що ніхто не знає швидкого алгоритму для розподілу цілого числа на його основні фактори. Однак перевірити, чи множиться множина простих факторів на певне ціле число, дуже просто.

Є кілька хороших ресурсів для нарощування криптовалюти. Ось один:

• http://research.microsoft.com/en-us/groups/crypto/firstcrypto.aspx

З цієї сторінки:

У криптографічній системі з відкритим ключем, що найчастіше використовується у винаході Рона Рівеста, Аді Шаміра та Лен Адлемана у 1977 році, і відкритий, і приватний ключі виводяться з пари великих простих чисел згідно відносно простої математичної формули. Теоретично можна отримати приватний ключ із відкритого ключа, працюючи формулою назад. Але лише продукт великих простих чисел є загальнодоступним, а факторинг чисел такого розміру на праймери настільки важкий, що навіть наймогутніші суперкомп'ютери у світі не можуть зламати звичайний відкритий ключ.

Книга Брюса Шнейера « Прикладна криптографія» - це ще одна. Я дуже рекомендую цю книгу; це веселе читання.

Щоб бути більш конкретним щодо того, як RSA використовує властивості простих чисел, алгоритм RSA критично залежить від теореми Ейлера , яка стверджує, що для відносно простих чисел "a" і "N", a ^ e відповідає 1 модулю N, де e - тотіентна функція Ейлера Н.

Звідки беруться праймери? Для ефективного обчислення тотентної функції Ейлера N потрібно знати просте множення фактору N. У випадку алгоритму RSA, де N = pq для деяких прайменів "p" і "q", тоді e = (p - 1) (q - 1) = N - p - q + 1. Але, не знаючи p і q, обчислити е дуже важко.

Більш абстрактно, багато криптографічних протоколів використовують різні функції , які легко обчислити, але їх важко інвертувати. Теорія чисел є багатим джерелом таких функцій (наприклад, множення великих простих чисел), а прості числа абсолютно важливі для теорії чисел.

Я б запропонував книгу "Математична подорож у коді" . У книзі приємне відчуття землі, що дивно, адже мова йде про криптографії. У книзі підсумовано шлях Сари Фланнери від навчання загадок у дитинстві до створення алгоритму Кейлі-Персера (CP) у віці 16 років. Це дає надзвичайно детальне пояснення способів функціонування, теорії чисел та простих чисел та того, як вони стосуються криптографія.

Що робить цю книгу ще більш специфічною для вашого запитання - Сара намагалася реалізувати новий алгоритм відкритого ключа, використовуючи матричні. Це було набагато швидше, ніж використання простих чисел, але знайдено отвір у петлі, який міг би його використати. Виявляється, її алгоритм краще використовувати як приватний механізм шифрування. Ця книга є чудовим свідченням використання простих чисел для шифрування, оскільки вона витримала перевірку часу та викликів дуже розумних людей.

Ще один ресурс для вас. Безпека зараз! Епізод 30 (~ 30-хвилинний подкаст, посилання на стенограму) розповідає про проблеми з криптографією та пояснює, чому важливі значення прайметів.

Я не математик чи криптик, тому ось зовнішнє спостереження з точки зору непростої людини (жодних фантазійних рівнянь, вибачте).

Весь цей потік заповнений роз'ясненнями про те, як праймери використовуються в криптографії, важко знайти когось у цій темі, що пояснює простий спосіб ЧОМУ використовуються прайми ... швидше за все, тому що всі сприймають це знання як належне.

Тільки дивлячись на проблему ззовні, можна генерувати подібну реакцію; але якщо вони використовують суми двох простих, чому б не створити перелік усіх можливих сум, які можуть генерувати два прайми?

На цьому сайті є список з 455 042 521 праймес , де найвищий прайм - 9 987 500 000 ( 10 цифр).

Найбільший відомий прайм (станом на лютого 2015 року) - 2 з потужністю 257,885,161-1, що становить 17,425,170 цифр.

Це означає, що немає сенсу вести список усіх відомих прайменів і тим більше всіх можливих сум. Простіше взяти номер і перевірити, чи це просто.

Обчислення великих праймерів саме по собі є монументальним завданням, тому зворотний обчислення двох простих чисел, які були помножені між собою як криптографи, так і математики, сказав би, досить важко ... сьогодні.

Криптографічні алгоритми, як правило, покладаються на свою безпеку, коли виникають "важкі проблеми". Більшість сучасних алгоритмів, здається, використовують факторинг дуже великих чисел як їх складну проблему - якщо помножити два великі числа разом, обчислити їх коефіцієнти "важко" (тобто забирає багато часу). Якщо ці два числа є простими числами, то є лише одна відповідь, що ще більше ускладнює, а також гарантує, що коли ви знайдете відповідь, це правильна, а не якась інша відповідь, яка просто відбувається, щоб дати той же результат.

Я думаю, що у криптографії важливо не самі праймери, але це складність проблеми простої факторизації

Припустимо, у вас дуже велике ціле число, яке, як відомо, є добутком двох простих чисел m і n, неважко знайти, що таке m і n. Алгоритм типу RSA залежить від цього факту.

До речі, є опублікований документ про алгоритм, який може "вирішити" цю основну проблему факторизації у прийнятний час за допомогою квантового комп'ютера. Тож новіші алгоритми в криптографії можуть більше не покладатися на цю "складність" основної факторизації, коли в місто приходить квантовий комп'ютер :)

Оскільки алгоритми факторизації значно пришвидшують кожен знайдений фактор. Якщо обидва приватні ключі є простими, то перший знайдений фактор також буде останнім. В ідеалі обидва приватні ключі також будуть майже однаковими за вартістю, оскільки має значення лише більш слабкий ключ.

Прості числа в основному використовуються в криптографії, оскільки це вимагає значного часу для визначення того, чи є це число простим числом чи ні. Для хакера, якщо будь-якому алгоритму потрібно багато часу, щоб зламати код, він стає для них марним