Якщо припустити ряд точок у 2d-просторі, які не самоперетинаються, що є ефективним методом визначення площі результуючого многокутника?
Як зауваження, це не домашнє завдання, і я не шукаю код. Я шукаю опис, за допомогою якого можна реалізувати власний метод. У мене є свої ідеї щодо витягування послідовності трикутників зі списку точок, але я знаю, що існує купа випадків ребер щодо опуклих і ввігнутих багатокутників, які я, мабуть, не вловлю.
Відповіді:
Ось стандартний метод , AFAIK. В основному підсумовують перехресні добутки навколо кожної вершини. Набагато простіше, ніж тріангуляція.
Код Python, заданий багатокутником, представленим у вигляді списку (x, y) координат вершин, що неявно переносяться з останньої вершини на першу:
def area(p):
return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))
def segments(p):
return zip(p, p[1:] + [p[0]])
Девід Лехаві коментує: Варто згадати, чому працює цей алгоритм: Це застосування теореми Гріна для функцій −y та x; точно так, як працює планіметр . Більш конкретно:
Формула вище =
integral_over_perimeter(-y dx + x dy) =
integral_over_area((-(-dy)/dy+dx/dx) dy dx) =
2 Area
abs()позбавить знак.
Крос-продукт - це класика.
Якщо у вас є мільйон таких обчислень, спробуйте наступну оптимізовану версію, яка вимагає вдвічі менше множень:
area = 0;
for( i = 0; i < N; i += 2 )
area += x[i+1]*(y[i+2]-y[i]) + y[i+1]*(x[i]-x[i+2]);
area /= 2;
Для наочності використовую індекс масиву. Більш ефективно використовувати покажчики. Хоча хороші компілятори зроблять це за вас.
Передбачається, що багатокутник "закритий", що означає, що ви копіюєте першу точку як точку з індексом N. Він також передбачає, що багатокутник має парну кількість точок. Додайте додаткову копію першого пункту, якщо N не парне.
Алгоритм отримують шляхом розгортання та комбінування двох послідовних ітерацій класичного алгоритму перехресного добутку.
Я не настільки впевнений у порівнянні двох алгоритмів щодо числової точності. У мене таке враження, що вищезазначений алгоритм кращий за класичний, оскільки множення, як правило, відновлює втрату точності віднімання. Коли обмежено використовувати плаваючі пристрої, як і GPU, це може суттєво змінити ситуацію.
EDIT: "Площа трикутників і багатокутників 2D & 3D" описує ще більш ефективний метод
// "close" polygon
x[N] = x[0];
x[N+1] = x[1];
y[N] = y[0];
y[N+1] = y[1];
// compute area
area = 0;
for( size_t i = 1; i <= N; ++i )
area += x[i]*( y[i+1] - y[i-1] );
area /= 2;
Ця сторінка показує, що формула
можна спростити до:
Якщо виписати кілька термінів і згрупувати їх за загальними факторами xi, то рівність не важко побачити.
Остаточне підсумовування є більш ефективним, оскільки воно вимагає лише nмноження замість 2n.
def area(x, y):
return abs(sum(x[i] * (y[i + 1] - y[i - 1]) for i in xrange(-1, len(x) - 1))) / 2.0
Я дізнався про це спрощення від Джо Кінгтона тут .
Якщо у вас є NumPy, ця версія швидша (для всіх, крім дуже малих масивів):
def area_np(x, y):
x = np.asanyarray(x)
y = np.asanyarray(y)
n = len(x)
shift_up = np.arange(-n+1, 1)
shift_down = np.arange(-1, n-1)
return (x * (y.take(shift_up) - y.take(shift_down))).sum() / 2.0
Набір точок без будь-яких інших обмежень не обов'язково однозначно визначає багатокутник.
Отже, спочатку ви повинні вирішити, який багатокутник будувати з цих точок - можливо, опуклий корпус? http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull
Потім триангулюйте і обчисліть площу. http://www.mathopenref.com/polygonirregulararea.html
Щоб розширити зони трикутника та підсумовування трикутників, вони працюють, якщо трапляється, що у вас випуклий багатокутник, АБО ви вибрали точку, яка не генерує ліній до кожної іншої точки, що перетинає багатокутник.
Для загального багатокутника, що не перетинається, потрібно підсумувати перехресний добуток векторів (опорна точка, точка a), (опорна точка, точка b), де a і b знаходяться "поруч" один з одним.
Припускаючи, що у вас є список точок, які визначають багатокутник у порядку (порядок - точки i і i + 1 утворюють лінію багатокутника):
Сума (перехресний добуток ((точка 0, точка i), (точка 0, точка i + 1)) для i = 1 до n - 1.
Візьміть величину цього поперечного продукту, і у вас буде площа поверхні.
Це дозволить обробляти увігнуті багатокутники, не турбуючись про те, щоб вибрати хорошу орієнтир; будь-які три точки, що генерують трикутник, який не знаходиться всередині багатокутника, матимуть поперечний добуток, який вказує у протилежному напрямку до будь-якого трикутника, що знаходиться всередині багатокутника, тому площі отримують правильно.
Для обчислення площі багатокутника
http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=geometry1#polygon_area
int cross(vct a,vct b,vct c)
{
vct ab,bc;
ab=b-a;
bc=c-b;
return ab.x*bc.y-ab.y*bc.x;
}
double area(vct p[],int n)
{
int ar=0;
for(i=1;i+1<n;i++)
{
vct a=p[i]-p[0];
vct b=p[i+1]-p[0];
area+=cross(a,b);
}
return abs(area/2.0);
}
мовне незалежне рішення:
ДАНО: багатокутник ЗАВЖДИ може складатися з n-2 трикутників, які не перекриваються (n = кількість точок АБО сторін). 1 трикутник = 3-сторонній многокутник = 1 трикутник; 1 квадрат = 4-сторонній многокутник = 2 трикутники; і т.д. оголошення нудота QED
отже, багатокутник можна зменшити шляхом «відрубування» трикутників, і загальна площа буде сумою площ цих трикутників. спробуйте це за допомогою аркуша паперу та ножиць, найкраще, якщо ви зможете наочно уявити процес перед тим, як слідувати.
якщо ви берете будь-які 3 послідовні точки в полігонах шляху і створюєте трикутник з цими точками, у вас буде один і лише один із трьох можливих сценаріїв:
нас цікавлять лише випадки, які потрапляють у перший варіант (повністю міститься).
кожного разу, коли ми знаходимо одну з них, ми її відрубуємо, обчислюємо її площу (легкий горох, не буду тут пояснювати формулу) і складаємо новий багатокутник з однією стороною менше (еквівалентно багатокутнику з цим відрізаним трикутником). поки у нас не залишиться лише один трикутник.
як реалізувати це програмно:
створити масив (послідовних) точок, що представляють шлях НАВКОЛО багатокутника. почати з точки 0. запустити масив, складаючи трикутники (по одному) з точок x, x + 1 та x + 2. перетворити кожен трикутник із фігури в область і перетинати його з площею, створеною з багатокутника. ЯКЩО отримане перетин ідентичне вихідному трикутнику, тоді згаданий трикутник повністю міститься в багатокутнику і може бути відрубаний. видалити x + 1 з масиву і почати знову з x = 0. в іншому випадку (якщо трикутник знаходиться поза [частково або повністю] багатокутником), перейдіть до наступної точки x + 1 у масиві.
крім того, якщо ви хочете інтегруватись із картографуванням і починаєте з геоточок, ви повинні ПЕРШИМ перейти з геоточок на екранні точки. для цього потрібно прийняти рішення про моделювання та формулу форми землі (хоча ми схильні думати про землю як про кулю, вона насправді є неправильною яйцевидною (яєчна форма), із вм'ятинами). Є багато моделей, для подальшої інформації wiki. важливим питанням є те, чи будете ви вважати область площиною чи криволінійною. загалом, "малі" ділянки, де точки знаходяться на відстані до декількох км, не призведуть до значних помилок, якщо вважати їх площинними та не опуклими.
Одним із способів це було б розкласти багатокутник на трикутники , обчислити площу трикутників і взяти суму як площу багатокутника.
Краще, ніж підсумовувати трикутники, - це підсумовування трапецій у декартовому просторі:
area = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
i1 = (i + 1) % n;
area += (vertex[i].y + vertex[i1].y) * (vertex[i1].x - vertex[i].x) / 2.0;
}
Впровадження формули шнурка можна зробити в Numpy. Припускаючи ці вершини:
import numpy as np
x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)
Ми можемо визначити таку функцію для пошуку області:
def PolyArea(x,y):
return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))
І отримання результатів:
print PolyArea(x,y)
# 0.26353377782163534
Цикл уникнення робить цю функцію в 50 разів швидшою, ніж PolygonArea:
%timeit PolyArea(x,y)
# 10000 loops, best of 3: 42 µs per loop
%timeit PolygonArea(zip(x,y))
# 100 loops, best of 3: 2.09 ms per loop
Примітка: Я написав цю відповідь на інше питання , я просто згадую це тут, щоб мати повний перелік рішень.
Моїм нахилом було б просто почати вирізати трикутники. Я не розумію, як щось інше могло уникнути того, щоб бути жахливо волохатим.
Візьмемо три послідовні точки, що складають багатокутник. Переконайтеся, що кут менше 180. Тепер у вас новий трикутник, який не складе труднощів обчислити, видаліть середню точку зі списку точок багатокутника. Повторюйте, поки у вас не залишиться лише три очки.
Як описано тут: http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({'x': [10, 20, 20, 30, 20, 10, 0], 'y': [-10, -10, -10, 0, 10, 30, 20]})
df = df.append(df.loc[0])
first_product = (df['x'].shift(1) * df['y']).fillna(0).sum()
second_product = (df['y'].shift(1) * df['x']).fillna(0).sum()
(first_product - second_product) / 2
600
Я збираюся дати кілька простих функцій для обчислення площі 2d багатокутника. Це працює як для опуклих, так і для увігнутих багатокутників. ми просто ділимо багатокутник на безліч підтрикутників.
//don't forget to include cmath for abs function
struct Point{
double x;
double y;
}
// cross_product
double cp(Point a, Point b){ //returns cross product
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
double area(Point * vertices, int n){ //n is number of sides
double sum=0.0;
for(i=0; i<n; i++){
sum+=cp(vertices[i], vertices[(i+1)%n]); //%n is for last triangle
}
return abs(sum)/2.0;
}