Монади як приєднання

Я читав про монади в теорії категорій. В одному визначенні монад використовується пара суміжних функторів. Монада визначається в обидва кінці з використанням цих функторів. Очевидно, що приєднання дуже важливі в теорії категорій, але я не бачив жодного пояснення монад Хаскела з точки зору суміжних функторів. Хтось замислювався над цим?

Редагувати : Просто для розваги я збираюся зробити це правильно. Оригінальна відповідь збережена нижче

Поточний код приєднання для додаткових категорій зараз знаходиться в пакеті приєднань: http://hackage.haskell.org/package/adjunctions

Я просто збираюся працювати через державну монаду явно і просто. Цей код використовується Data.Functor.Composeз пакета трансформаторів, але в іншому випадку є автономним.

Доповнення між f (D -> C) і g (C -> D), написане f - | g, можна охарактеризувати різними способами. Ми використаємо опис count / unit (epsilon / eta), який дає два природні перетворення (морфізми між функторами).

class (Functor f, Functor g) => Adjoint f g where
     counit :: f (g a) -> a
     unit   :: a -> g (f a)

Зверніть увагу, що "a" в count дійсно є функтором ідентичності в C, а "a" в одиниці насправді є функтором ідентичності в D.

Ми також можемо відновити визначення приєднання самонабору з визначення кількості / одиниці.

phiLeft :: Adjoint f g => (f a -> b) -> (a -> g b)
phiLeft f = fmap f . unit

phiRight :: Adjoint f g => (a -> g b) -> (f a -> b)
phiRight f = counit . fmap f

У будь-якому випадку, тепер ми можемо визначити Монаду з приєднання нашого підрозділу / рахунку так:

instance Adjoint f g => Monad (Compose g f) where
    return x = Compose $ unit x
    x >>= f  = Compose . fmap counit . getCompose $ fmap (getCompose . f) x

Тепер ми можемо реалізувати класичне приєднання між (a,) та (a ->):

instance Adjoint ((,) a) ((->) a) where
    -- counit :: (a,a -> b) -> b
    counit (x, f) = f x
    -- unit :: b -> (a -> (a,b))
    unit x = \y -> (y, x)

А тепер синонім типу

type State s = Compose ((->) s) ((,) s)

І якщо ми завантажимо це в ghci, ми можемо підтвердити, що держава - це саме наша класична державна монада. Зверніть увагу, що ми можемо взяти протилежний склад і отримати Costate Comonad (він же магазин комонад).

Існує купа інших приєднань, які ми можемо зробити таким чином у монади (наприклад, (Bool,) Pair), але це свого роду дивні монади. На жаль, ми не можемо зробити приєднання, які спонукають Reader і Writer безпосередньо в Haskell приємним чином. Ми можемо зробити Cont, але, як описує copumpkin, для цього потрібне доповнення з протилежної категорії, тому насправді використовується інша "форма" класу типів "Adjoint", яка змінює деякі стрілки. Ця форма також реалізована в іншому модулі пакета додатків.

цей матеріал по-іншому висвітлений у статті Дерека Елкінса в The Monad Reader 13 - Обчислення монад з теорією категорій: http://www.haskell.org/wikiupload/8/85/TMR-Issue13.pdf

Крім того, нещодавній документ Хінзе про розширення для оптимізації програм проходить через побудову монади списку з додавання між Monта Set: http://www.cs.ox.ac.uk/ralf.hinze/Kan.pdf

Стара відповідь:

Два посилання.

1) Додаткові категорії надають, як завжди, представлення про додатки та те, як від них виникають монади. Як зазвичай, добре подумати, але досить мало документації: http://hackage.haskell.org/packages/archive/category-extras/0.53.5/doc/html/Control-Functor-Adjunction.html

2) -Кафе також пропонує багатообіцяючу, але коротку дискусію про роль приєднання. Деякі з них можуть допомогти в інтерпретації додаткових категорій: http://www.haskell.org/pipermail/haskell-cafe/2007-December/036328.html

Дерек Елкінс нещодавно за вечерею показував мені, як Cont Monad виникає в результаті складання (_ -> k)противаріантного функтора з собою, оскільки це, здається, самоспрямованість. Ось як ти (a -> k) -> kз цього вийдеш. Однак його підрахунок призводить до подвійного усунення заперечень, про що не можна писати в Haskell.

Деякий код Agda, який ілюструє та доводить це, див . На веб-сайті http://hpaste.org/68257 .

Це стара тема, але мені це питання здалося цікавим, тому я зробив кілька обчислень сам. Сподіваємось, Бартош все ще там і може прочитати це ..

Насправді конструкція Ейленберга-Мура дає дуже чітке уявлення в цьому випадку. (Я буду використовувати позначення CWM із синтаксисом Haskell)

Нехай Tбуде списком монади< T,eta,mu > ( eta = returnі mu = concat) і розглянемо Т-алгебру h:T a -> a.

(Зауважте, що T a = [a] це вільний моноїд <[a],[],(++)>, тобто ідентичність []та множення (++).)

За визначенням, h повинен задовольняти h.T h == h.mu aі h.eta a== id.

Тепер це підтверджує кілька простих переслідувань діаграм h насправді індукує моноїдну структуру на (визначену x*y = h[x,y]), і що hстає моноїдним гомоморфізмом для цієї структури.

І навпаки, будь-яка моноїдна структура, < a,a0,* >визначена в Хаскеллі, природно визначається як Т-алгебра.

Таким чином ( h = foldr ( * ) a0, функція, яка "замінює" (:)на (*) , і карти []в a0тотожність).

Отже, у цьому випадку категорія Т-алгебр - це просто категорія моноїдних структур, що визначаються в Haskell, HaskMon.

(Будь ласка, перевірте, чи морфізми в Т-алгебрах насправді є моноїдними гомоморфізмами.)

Він також характеризує списки як універсальні об'єкти в HaskMon, як і безкоштовні продукти в Grp, поліноміальні кільця в CRng тощо.

Коригування, що відповідає наведеній вище конструкції, є < F,G,eta,epsilon >

де

• F:Hask -> HaskMon, який приймає тип a до "вільного моноїду, породженого a", тобто [a],
• G:HaskMon -> Hask, забудькувальний функтор (забудьте про множення),
• eta:1 -> GF , природне перетворення, визначене \x::a -> [x],
• epsilon: FG -> 1 , природне перетворення, визначене функцією згортання вище (`` канонічна сюр'єкція '' від вільного моноїда до його часткового моноїду)

Далі існує ще одна „категорія Клейслі” та відповідне доповнення. Ви можете перевірити, що це просто категорія типів Хаскелла з морфізмами a -> T b, де її композиції даються так званою `` композицією Клейслі '' (>=>). Типовий програміст Haskell вважає цю категорію більш звичною.

Нарешті, як проілюстровано в CWM, категорія T-алгебр (відповідно категорія Клейслі) стає кінцевим (відповідно початковим) об'єктом у категорії коригувань, які визначають монаду списку T у відповідному сенсі.

Я пропоную зробити подібні обчислення для бінарного функтора дерева, T a = L a | B (T a) (T a)щоб перевірити ваше розуміння.

Я знайшов стандартні конструкції додаткових функторів для будь-якої монади Ейленберга-Мура, але я не впевнений, що це додає якесь розуміння проблеми. Друга категорія в побудові - це категорія Т-алгебр. Алгебра AT додає "товар" до початкової категорії.

То як би це працювало для списку монади? Функтор у монаді списку складається з конструктора типів, наприклад, Int->[Int]та відображення функцій (наприклад, стандартне застосування map до списків). Алгебра додає відображення зі списків до елементів. Одним з прикладів може бути додавання (або множення) усіх елементів списку цілих чисел. Функтор Fбере будь-який тип, наприклад, Int, і відображає його в алгебру, визначену у списках Int, де добуток визначається монадичним об'єднанням (або навпаки, об'єднання визначається як добуток). Забувливий функтор Gбере алгебру і забуває добуток. Пара F, G, пов'язаних функтори потім використовуються для побудови монади звичайного способу.

Треба сказати, що я не мудріший.

Якщо вам цікаво, ось кілька думок непрофесіонала щодо ролі монад та приєднань у мовах програмування:

Перш за все, існує для даної монади Tунікальне доповнення до категорії Клейслі T. У Хаскелі використання монад в першу чергу обмежується операціями в цій категорії (яка, по суті, є категорією вільних алгебр, без коефіцієнтів). Насправді, все, що можна зробити з монадою Хаскелла, - це скласти деякі морфізми Клейслі типу a->T bза допомогою виразів do (>>=)тощо тощо, щоб створити новий морфізм. У цьому контексті роль монад обмежується лише економією позначень. Один використовує асоціативність морфізмів, щоб мати можливість писати (скажімо) [0,1,2] замість (Cons 0 (Cons 1 (Cons 2 Nil))), тобто ви можете писати послідовність як послідовність, а не як дерево.

Навіть використання монад IO не є суттєвим, оскільки нинішня система типу Хаскелл є досить потужною для реалізації інкапсуляції даних (екзистенціальні типи).

Це моя відповідь на ваше початкове запитання, але мені цікаво, що говорять з цього приводу експерти Haskell.

З іншого боку, як ми вже зазначали, існує також відповідність 1-1 між монадами та приєднаннями до (T-) алгебр. З точки зору Маклейна, приєднання - це "спосіб виразити еквівалентність категорій". У типовій обстановці приєднань, <F,G>:X->Aде Fє якийсь `` генератор вільної алгебри '', а G `` забувливий функтор '', відповідна монада (за допомогою Т-алгебр) опише, як (і коли) Aбудується алгебраїчна структура об'єкти X.

У випадку з Hask і списком монади T, структура, яку Tвводить, - це структура моноїдів, і це може допомогти нам встановити властивості (включаючи правильність) коду за допомогою алгебраїчних методів, які забезпечує теорія моноїдів. Наприклад, функцію foldr (*) e::[a]->aможна легко розглядати як асоціативну операцію, якщо <a,(*),e>вона є моноїдом, що може бути використано компілятором для оптимізації обчислень (наприклад, паралелізмом). Інший додаток полягає у виявленні та класифікації "шаблонів рекурсії" у функціональному програмуванні за допомогою категоріальних методів з надією (частково) розпорядитися "переходом до функціонального програмування" Y (довільний комбінатор рекурсії).

Очевидно, подібного роду програми є однією з основних мотивацій творців теорії категорій (MacLane, Eilenberg та ін.), А саме встановити природну еквівалентність категорій та перенести добре відомий метод з однієї категорії в іншу (наприклад, гомологічні методи до топологічних просторів, алгебраїчні методи програмування тощо). Тут приєднання та монади є необхідними інструментами для використання цього зв'язку категорій. (До речі, поняття монад (і їх двоїстих комонад) настільки загальне, що можна навіть зайти так далеко, щоб визначити "когомології" типів Хаскелла. Але я ще не замислювався.)

Щодо недетермістичних функцій, про які ви згадали, я маю сказати набагато менше ... Але зауважте, що; якщо доповнення <F,G>:Hask->Aдо якоїсь категорії Aвизначає монаду списку T, повинен бути унікальний "функтор порівняння" K:A->MonHask(категорія моноїдів, що визначається в Хаскелі), див. CWM. Це фактично означає, що ваша категорія інтересів повинна бути категорією моноїдів у певній обмеженій формі (наприклад, у ній можуть бути відсутні коефіцієнти, але не вільні алгебри) для того, щоб визначити монаду списку.

Нарешті, кілька зауважень:

Двійковий функтор дерева, про який я згадав у своєму останньому розміщенні, легко узагальнює довільний тип даних T a1 .. an = T1 T11 .. T1m | .... А саме, будь-який тип даних у Хаскелі, природно, визначає монаду (разом із відповідною категорією алгебр та категорією Клейслі), що є лише результатом того, що будь-який конструктор даних у Хаскеллі є загальним. Це ще одна причина, чому я вважаю, що клас Монади Хаскелла - це не набагато більше, ніж синтаксичний цукор (що, звичайно, досить важливо на практиці).