Алгоритми на основі чисельних базових систем? [зачинено]

Нещодавно я помітив, що існує дуже багато алгоритмів, які частково або повністю засновані на розумному використанні чисел у творчих засадах. Наприклад:

• Біноміальні купи базуються на двійкових числах, а більш складні перекоси біноміальні купи базуються на косих двійкових числах.
• Деякі алгоритми генерування лексикографічно впорядкованих перестановок базуються на фактографічній системі числення.
• Спроби можна сприймати як дерева, які дивляться на одну цифру струни за раз, для відповідної основи.
• Дерева кодування Хаффмана призначені для того, щоб кожен край у дереві кодував нуль або одиницю в якомусь двійковому поданні.
• Кодування Фібоначчі використовується при пошуку Фібоначчі та для інвертування певних типів логарифмів.

Моє запитання: які ще існують алгоритми, які використовують розумну систему числення як ключовий крок своєї інтуїції чи доказу? . Я думаю про те, щоб підготувати бесіду на цю тему, тому чим більше прикладів я повинен брати, тим краще.

Кріс Окасакі має дуже хороший розділ у своїй книзі " Чисто функціональні структури даних", в якому розглядаються "числові уявлення": по суті, візьміть деяке представлення числа і перетворіть його в структуру даних. Для додання смаку, ось розділи цієї глави:

1. Позиційні системи числення
2. Двійкові числа (двійкові списки з довільним доступом, безнульові подання, ліниві подання, сегментовані подання)
3. Косові двійкові числа (Косові двійкові списки довільного доступу, Косі двоіменні купи)
4. Трицинарні та четвертинні числа

Одні з найкращих прийомів, дистильовані:

• Розрізняють щільні і розріджене подання чисел (зазвичай це ви бачите в матрицях або графіках, але це стосується і чисел!)
• Корисні системи надлишкових чисел (системи, що мають більше одного подання числа).
• Якщо ви розташуєте першу цифру ненульовою або використовуєте безнульове подання, отримання головки структури даних може бути ефективним.
• Уникайте каскадного запозичення (від взяття хвоста списку) та перенесення (від потрапляння до списку) шляхом сегментування структури даних

Ось також список посилань для цього розділу:

• Гібас, Маккрейт, Пласс і Робертс: нове представлення для лінійних списків.
• Майерс: застосувальний стек з довільним доступом
• Карлссон, Манро, Поблете: неявна біноміальна черга з постійним часом вставки.
• Каплан, Тарджан: Суто функціональні списки з зв'язком через рекурсивне уповільнення.

"Трійкові номери можуть бути використані для зручного передавання самоподібних структур, таких як трикутник Серпінського або набір Кантора". джерело

"Четвертинні числа використовуються для подання двовимірних кривих Гільберта." джерело

"Кватерно-уявна система числення була вперше запропонована Дональдом Кнутом у 1955 році для подання на пошук талантів середньої школи. Це нестандартна позиційна система числення, яка використовує уявне число 2i як свою основу. Вона здатна представляти кожне комплексне число, використовуючи лише цифри 0, 1, 2 та 3. " джерело

"Римські цифри - це бікінарна система". джерело

"Сенатор може вважатися корисним для вивчення простих чисел, оскільки всі прості числа, виражені в базі-шість, крім 2 і 3, мають кінцеву цифру 1 або 5". джерело

"Сексагезімаль (основа 60) - це числівна система, основою якої є шістдесят. Вона виникла у древніх шумерів у 3-му тисячолітті до нашої ери, вона передалася древнім вавилонянам і досі використовується - у модифікованій формі - для вимірювання час, кути та географічні координати, які є кутами ". джерело

тощо ...

Цей список є хорошою відправною точкою.

Я прочитав ваше запитання днями, і сьогодні зіткнувся з проблемою: Як створити всі розділи набору? Рішення, яке мені спало на думку та яке я використав (можливо, завдяки прочитанню вашого запитання), було таке:

Для набору з (n) елементами, де мені потрібні (p) розділи, перерахуйте всі (n) цифри в основі (p).

Кожне число відповідає розділу. Кожна цифра відповідає елементу в наборі, а значення цифри підказує, до якого розділу потрібно додати елемент.

Це не дивно, але акуратно. Він завершений, не викликає надмірності та використовує довільні основи. База, яку ви використовуєте, залежить від конкретної проблеми розділення.

Нещодавно я натрапив на крутий алгоритм генерації підмножин у лексикографічному порядку на основі двійкових подань чисел від 0 до 2 ⁿ - 1. Він використовує біти чисел як для того, щоб визначити, які елементи слід вибрати для набору, так і для локального переупорядкування сформовані набори для приведення їх у лексикографічний порядок. Якщо вам цікаво, у мене тут розміщений матеріал .

Крім того, багато алгоритмів засновані на масштабуванні (наприклад, слабополіноміальна версія алгоритму Форда-Фулькерсона з максимальною витратою), який використовує двійкове представлення чисел у вхідній задачі для поступового уточнення приблизного наближення до повного рішення.

Не зовсім розумна базова система, але розумне використання базової системи: послідовності Ван дер Корпута - це послідовності з низькою невідповідністю, утворені шляхом обернення подання чисел base-n. Вони використовуються для побудови 2-d HALTON послідовності , які виглядають начебто цього .

Я неясно пам’ятаю щось про подвійні базові системи для прискорення деякого матричного множення.

Система з двома базами - це резервна система, яка використовує дві бази для одного числа.

 n = Sum(i=1 --> l){ c_i * 2^{a_i} * 3 ^ {b_i}, where c in {-1,1}

Надлишковий означає, що одне число можна вказати різними способами.

Ви можете шукати статтю "Гібридний алгоритм для обчислення матричного полінома" Василя Димитрова, Тодора Куклєва.

Намагаючись дати найкращий короткий огляд, який я можу.

Вони намагалися обчислити матричний поліном G(N,A) = I + A + ... + A^{N-1} .

Супозація N є складовою G(N,A) = G(J,A) * G(K, A^J), якщо ми застосовуємо для J = 2, то отримуємо:

         / (I + A) * G(K, A^2)        , if N = 2K
G(N,A) = |
         \ I + (A + A^2) * G(K, A^2)  , if N = 2K + 1

також,

         / (I + A + A^2) * G(K, A^3)           , if N = 3K
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3)     , if N = 3K + 1
         \ I + A * (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 3K + 2

Оскільки "очевидно" (на жарт), що деякі з цих рівнянь є швидкими в першій системі, а деякі - у другій, - тому гарно вибрати найкращий із них залежно від N. Але для цього потрібна швидка робота за модулем як для 2, так і для 3. Ось чому з’являється подвійна база - ви можете в основному швидко виконувати операції за модулем для обох, створюючи комбіновану систему:

         / (I + A + A^2) * G(K, A^3)       , if N = 0 or 3 mod 6
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 1 or 4 mod 6
         | (I + A) * G(3K + 1, A^2)        , if N = 2 mod 6
         \ I + (A + A^2) * G(3K + 2, A^2)  , if N = 5 mod 6

Подивіться на статтю для кращого пояснення, оскільки я не фахівець у цій галузі.

RadixSort може використовувати різну кількість баз. http://en.wikipedia.org/wiki/Radix_sort Досить цікава реалізація bucketSort.

ось хороший допис про використання потрійних номерів для вирішення проблеми "підробленої монети" (де вам потрібно виявити одну підроблену монету в мішку звичайних, використовуючи залишок якомога менше разів)

Хешувальні рядки (наприклад, в алгоритмі Рабіна-Карпа ) часто оцінюють рядок як число base-b, що складається з n цифр (де n - довжина рядка, а b - якась обрана база, яка є досить великою). Наприклад, рядок "ABCD" можна хешувати як:

'A'*b^3+'B'*b^2+'C'*b^1+'D'*b^0

Підставляючи значення ASCII для символів і приймаючи b як 256 це стає,

65*256^3+66*256^2+67*256^1+68*256^0

Хоча в більшості практичних застосувань отримане значення приймається за модулем деякого розміру достатньо великого розміру, щоб результат був достатньо малим.

Піднесення степенів за допомогою квадратури базується на двійковому поданні показника ступеня.

В Hackers Delight (книзі, яку кожен програміст повинен знати в моїх очах) є ціла глава про незвичайні базиси, як -2 як основа (так, праві негативні основи) або -1 + i (i як уявна одиниця sqrt (-1)) як база. Також я приємно підрахував, що є найкращою базою (з точки зору апаратного проектування, для всіх, хто не хоче її читати: Рішення рівняння - e, так що ви можете піти з 2 або 3, 3 було б трохи краще (коефіцієнт В 1,056 рази краще, ніж 2) - але технічно більш практичний).

Інше, що мені спадає на думку, це сірий лічильник (ви, коли в цій системі підраховуєте лише 1 бітові зміни, ви часто використовуєте цю властивість в дизайні апаратного забезпечення для зменшення проблем метастабільності) або узагальнення вже згаданого кодування Хаффмана - арифметичне кодування.

Криптографія широко використовує цілі кільця (модульні арифметичні), а також кінцеві поля, чиї дії інтуїтивно засновані на поведінці поліномів із цілими коефіцієнтами.

Мені дуже подобається цей для перетворення двійкових чисел у сірі коди: http://www.matrixlab-examples.com/gray-code.html

Чудове запитання. Список справді довгий. Час розповіді - простий приклад змішаних основ (дні | години | хвилини | секунди | ранку / вечора)

Я створив фреймворк n-кортежу з переліком мета-бази, якщо вам цікаво про це почути. Це дуже солодкий синтаксичний цукор для базових систем нумерації. Це ще не випущено. Надіслати електронне повідомлення на моє ім’я користувача (на gmail).

Одним із моїх улюблених варіантів використання бази 2 є арифметичне кодування . Це незвично, оскільки сервер алгоритму використовує подання чисел від 0 до 1 у двійковому вигляді.

Це може бути AKS .