Як записати 2 ** n - 1 як рекурсивну функцію?

Мені потрібна функція, яка приймає n і повертає 2 ⁿ - 1 . Звучить це досить просто, але функція повинна бути рекурсивною. Поки що у мене всього 2 ⁿ :

def required_steps(n):
    if n == 0:
        return 1
    return 2 * req_steps(n-1)

Вправа стверджує: "Ви можете припустити, що параметр n завжди є цілим числом і більше 0"

2**n -1також є 1 + 2 + 4 + ... + 2 ^n-1, який може перетворитись на єдину рекурсивну функцію (без другої, щоб відняти 1 від сили 2).

Підказка : 1 + 2 * (1 + 2 * (...))

Рішення нижче, не дивіться, чи хочете спробувати спочатку підказку.

Це працює, якщо nгарантовано більший за нуль (як це було фактично обіцяно в заяві проблеми):

def required_steps(n):
    if n == 1: # changed because we need one less going down
        return 1
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

Більш надійна версія також оброблятиме нульові та негативні значення:

def required_steps(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be non-negative")
    if n == 0:
        return 0
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

(Додавання чека на нецілі числа залишається як вправа.)

Щоб вирішити проблему з рекурсивним підходом, вам слід було б з’ясувати, як ви можете визначити функцію із заданим входом з точки зору тієї ж функції з іншим входом. У цьому випадку, оскільки f(n) = 2 * f(n - 1) + 1ви можете:

def required_steps(n):
    return n and 2 * required_steps(n - 1) + 1

так що:

for i in range(5):
    print(required_steps(i))

Виходи:

0
1
3
7
15

Ви можете дістати дійсно рекурсивну частину до іншої функції

def f(n):
    return required_steps(n) - 1

Або ви можете встановити прапор і визначити, коли потрібно відняти

def required_steps(n, sub=True):
    if n == 0: return 1
    return 2 * required_steps(n-1, False) - sub

>>> print(required_steps(10))
1023

Використовуючи додатковий параметр для результату, r-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r * 2)

for x in range(6):
  print(f"f({x}) = {required_steps(x)}")

# f(0) = 0
# f(1) = 1
# f(2) = 3
# f(3) = 7
# f(4) = 15
# f(5) = 31

Ви також можете записати це за допомогою зсуву ліворуч, <<-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r << 1)

Вихід однаковий

Запропонуйте заповнювача запам'ятати початкове значення n, а потім протягом першого кроку, тобто n == Nповернути2^n-1

n = 10
# constant to hold initial value of n
N = n
def required_steps(n, N):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == N:
        return 2 * required_steps(n-1, N) - 1
    return 2 * required_steps(n-1, N)

required_steps(n, N)

Один із способів отримати зміщення "-1" - це застосувати його у відповідь з першого виклику функції, використовуючи аргумент зі значенням за замовчуванням, а потім явно встановити аргумент зміщення на нуль під час рекурсивних викликів.

def required_steps(n, offset = -1):
    if n == 0:
        return 1
    return offset + 2 * required_steps(n-1,0)

Поверх усіх дивовижних відповідей, наведених раніше, нижче буде показано її реалізацію із внутрішніми функціями.

def outer(n):
    k=n
    def p(n):
        if n==1:
            return 2
        if n==k:
            return 2*p(n-1)-1
        return 2*p(n-1)
    return p(n)

n=5
print(outer(n))

В основному, він присвоює глобальне значення n до k і повторюється через нього за допомогою відповідних порівнянь.