Моя відповідь досить довга, тому я розділив її на три розділи. Оскільки питання стосується математики з плаваючою комою, я наголосив на тому, що насправді робить машина. Я також конкретизував подвійну (64-бітну) точність, але аргумент застосовується однаково до будь-якої арифметики з плаваючою точкою.
Преамбула
IEEE 754 з подвійною точністю в довічним форматі з плаваючою точкою (binary64) число являє собою число виду
значення = (-1) ^ s * (1.m 51 m 50 ... m 2 m 1 m 0 ) 2 * 2 e-1023
в 64 бітах:
- Перший біт - це бітовий знак :
1якщо число від’ємне, 0інакше 1 .
- Наступні 11 біт - це показник , який компенсується на 1023. Іншими словами, після зчитування бітів експонента з числа з подвоєною точністю 1023 необхідно відняти, щоб отримати потужність двох.
- Решта 52 біта - це знамення (або мантіса). У мантісі «мається на увазі»
1.завжди 2 опущено, оскільки найзначніший біт будь-якого бінарного значення є 1.
1 - IEEE 754 дозволяє концепцію підписаного нуля - +0і -0трактуються по-різному: 1 / (+0)є позитивна нескінченність; 1 / (-0)є негативною нескінченністю. При нульових значеннях біти мантіси та експонента всі нульові. Примітка: нульові значення (+0 і -0) явно не класифікуються як деннормальні 2 .
2 - Це не стосується деннормальних чисел , які мають показник зміщення нуля (і мається на увазі 0.). Діапазон деннормальних чисел подвійної точності d min ≤ | x | ≤ d max , де d min (найменше представлене ненульове число) 2 -1023 - 51 (≈ 4,94 * 10 -324 ) і d max (найбільше денормальне число, з якого мантіса складається повністю з 1s) становить 2 -1023 + 1 - 2 -1023 - 51 (≈ 2.225 * 10 -308 ).
Перетворення подвійного числа точності у двійкове
Існує багато інтернет-перетворювачів для перетворення подвійної точності з плаваючою точкою в двійкову (наприклад, на binaryconvert.com ), але ось деякий зразок коду C #, щоб отримати представлення IEEE 754 для подвійного числа точності (я розділяю три частини двокрапками ( :) :
public static string BinaryRepresentation(double value)
{
long valueInLongType = BitConverter.DoubleToInt64Bits(value);
string bits = Convert.ToString(valueInLongType, 2);
string leadingZeros = new string('0', 64 - bits.Length);
string binaryRepresentation = leadingZeros + bits;
string sign = binaryRepresentation[0].ToString();
string exponent = binaryRepresentation.Substring(1, 11);
string mantissa = binaryRepresentation.Substring(12);
return string.Format("{0}:{1}:{2}", sign, exponent, mantissa);
}
До речі, питання: оригінальне запитання
(Пропустити донизу для версії TL; DR)
Катон Джонстон (запитуючий питання) запитав, чому 0,1 + 0,2! = 0,3.
IEEE 754, що пишеться у двійковій формі (з двокрапками, що розділяють три частини),:
0.1 => 0:01111111011:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 0:01111111100:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
Зауважте, що мантія складається з повторюваних цифр 0011. Це є ключовим для того, чому існує якась помилка обчислень - 0,1, 0,2 та 0,3 не можуть бути представлені у двійковій точності в кінцевій кількості бінарних бітів, більше ніж 1/9, 1/3 або 1/7 можуть бути представлені точно в десяткових цифр .
Також зауважте, що ми можемо зменшити потужність в експоненті на 52 і зрушити точку в бінарному поданні праворуч на 52 місця (приблизно як 10 -3 * 1,23 == 10 -5 * 123). Потім це дозволяє представити двійкове уявлення як точне значення, яке воно представляє у вигляді a * 2 p . де 'a' - ціле число.
Перетворення експонентів у десяткові, видалення зміщення та повторне додавання мається на увазі 1(у квадратних дужках) 0,1 та 0,2:
0.1 => 2^-4 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 2^-3 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
or
0.1 => 2^-56 * 7205759403792794 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
Щоб додати два числа, показник повинен бути однаковим, тобто:
0.1 => 2^-3 * 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101(0)
0.2 => 2^-3 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
sum = 2^-3 * 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
or
0.1 => 2^-55 * 3602879701896397 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
sum = 2^-55 * 10808639105689191 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
Оскільки сума не має виду 2 n * 1. {bbb}, збільшуємо показник на один і зміщуємо десяткову ( двійкову ) точку, щоб отримати:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
= 2^-54 * 5404319552844595.5 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
Зараз у мантісі 53 біти (53-й біт знаходиться у квадратних дужках у рядку вище). Режим округлення за замовчуванням для IEEE 754 - " Круглий до найближчого ", тобто якщо число x падає між двома значеннями a і b , вибирається значення, де найменший значущий біт дорівнює нулю.
a = 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
= 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
x = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
b = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
Зауважте, що a і b відрізняються лише останнім бітом; ...0011+ 1= ...0100. У цьому випадку значення з найменшим значущим бітом нуля дорівнює b , тому сума дорівнює:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
тоді як двійкове представлення 0,3 становить:
0.3 => 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
= 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
що відрізняється лише від двійкового представлення суми 0,1 та 0,2 на 2 -54 .
Двійкове представлення 0,1 і 0,2 є найбільш точним поданням чисел, дозволених IEEE 754. Додавання цього подання, завдяки режиму округлення за замовчуванням, призводить до значення, яке відрізняється лише найменш-значущим бітом.
TL; DR
Запис 0.1 + 0.2у бінарне представлення IEEE 754 (з двокрапками, що розділяють три частини) та порівняння з цим 0.3, це (я помістив окремі біти у квадратні дужки):
0.1 + 0.2 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[100]
0.3 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[011]
Ці значення, перетворені назад у десяткові,:
0.1 + 0.2 => 0.300000000000000044408920985006...
0.3 => 0.299999999999999988897769753748...
Різниця становить рівно 2 -54 , що становить ~ 5,5511151231258 × 10 -17 - незначне (для багатьох застосувань) порівняно з вихідними значеннями.
Порівнювати останні кілька біт числа числа з плаваючою комою за своєю суттю небезпечно, тому що кожен, хто читає відоме " Що повинен знати кожен комп'ютерний вчений про арифметику з плаваючою комою " (який охоплює всі основні частини цієї відповіді).
Більшість калькуляторів використовують додаткові цифри охоронця, щоб подолати цю проблему, і ось як 0.1 + 0.2це дасть 0.3: останні кілька бітів округлюються.
