Рівноіндексовані індуктивні типи передбачають рівні показники

Нехай індуктивний тип fooіндексується x : X.

Parameter X : Type.

Inductive foo : X -> Type :=
| constr : forall (x : X), foo x.

Мені цікаво, якщо foo x = foo yмається на увазі x = y. Мені немає ідеї, як це довести.

Lemma type_equality_implies_index_equality : forall (x y : X), foo x = foo y -> x = y.

Якщо цього неможливо довести, чому?

Це неможливо довести. Розглянемо наступний особливий випадок теореми, коли ми встановлюємо X := bool:

foo true = foo false -> true = false

З огляду на те, що trueі falseрізні, якби теорема була доказовою, слід було б показати, що foo trueі foo falseє різними. Проблема полягає в тому, що ці два типи є ізоморфними :

Inductive foo : bool -> Type :=
| constr : forall (x : bool), foo x.

(* An isomorphism between foo true and foo false *)
Definition foo_t_f (x : foo true) : foo false := constr false.
Definition foo_f_t (x : foo false) : foo true := constr true.

(* Proofs that the functions are inverses of each other *)
Lemma foo_t_fK x : foo_f_t (foo_t_f x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.

Lemma foo_f_tK x : foo_t_f (foo_f_t x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.

У теорії Кока неможливо показати, що два ізоморфні типи різні, не допускаючи додаткових аксіом. Ось чому розширення такої теорії Кока, як теорія типу гомотопії, є надійною. У HoTT ізоморфні типи можуть бути показані рівними, і якби можна було довести свою теорему, HoTT був би невідповідним.