( Чесність і математична цілісність - враховуючи кількість голосів за цю "відповідь" - змусили мене відредагувати цю відповідь. Я відмовився якомога довше, тому що він був призначений як короткий запит, а не як "глибокий", тому введення будь-яке пояснення здавалося протилежним меті. Однак у коментарях чітко видно, що я повинен бути зрозумілим, щоб уникнути непорозуміння. )
Моя оригінальна відповідь:
Формулювання цієї частини специфікації:
Якщо це 0, я хочу встановити його на 1, а інше - на 0.
випливає, що найбільш точне рішення:
v = dirac_delta(0,v)
По- перше, визнання: я зробив , щоб мої дельта - функції сплутати. Дельта Kronecker була б трохи доречнішою, але не настільки, як я хотів чогось, що не залежить від домену (дельта Kronecker використовується в основному лише для цілих чисел). Але я дійсно не повинен був використовувати функції дельти взагалі, я повинен був сказати:
v = characteristic_function({0},v)
Дозвольте уточнити. Нагадаємо , що функція є потрійний, (X, Y, F) , де Х і Y представляють собою набори ( так званий домен і кообласть відповідно) і е є правило , яке присвоює елемент Y до кожного елементу X . Ми часто пишемо потрійний (X, Y, F) , як F: X → Y . Враховуючи підмножину X , скажімо, A , є характерна функція, яка є функцією χ A : X → {0,1}(це також може розглядатися як функція для більшого кодомену, такого як ℕ або ℝ). Ця функція визначена правилом:
χ (х) = 1 , якщо х ∈ A і χ (х) = 0 , якщо х ∉ .
Якщо вам подобаються таблиці істинності, це таблиця істинності для питання "Чи елемент x з X є елементом підмножини A ?".
Отже, з цього визначення зрозуміло, що характерна функція - це те, що тут потрібно, причому X має великий набір, що містить 0 і A = {0} . Це я мав би написати.
І так до дельта-функцій. Для цього нам потрібно знати про інтеграцію. Або ти вже знаєш це, або не знаєш. Якщо ви цього не зробите, я тут нічого не можу сказати про тонкощі теорії, але я можу дати коротке резюме. Міра на безлічі X , по суті , «то , що потрібно , щоб зробити роботу усредняет». Тобто сказати , що якщо у нас є безліч X і міра М на цій множині , тобто клас функцій X → ℝ , називається вимірні функціями , для яких вираз ∫ X е де має сенс і, в якому - то смутний почутті, «середнє» з F над X .
Враховуючи міру на множині, можна визначити "міру" для підмножини цього набору. Це робиться шляхом присвоєння підмножині інтегралу його характерної функції (припустимо, що це вимірювана функція). Це може бути нескінченно або невизначено (обидва вони тонко різні).
Навколо існує маса заходів, але тут важливі дві. Один - це стандартна міра на дійсній лінії, ℝ Для цього заходу, то ∫ ℝ е ДЙ є в значній мірі те , що ви отримуєте в школі вчили (це обчислення вчив ще в школі?): Підсумувати маленькі прямокутники і прийняти все менше і менше ширину. У цьому вимірі мірою інтервалу є його ширина. Міра точки дорівнює 0.
Ще одна важлива міра, яка працює на будь-якій множині, називається точковою мірою . Він визначається так, що інтеграл функції - це сума її значень:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Цей захід призначає кожному однотонному набору міру 1. Це означає, що підмножина має кінцеву міру тоді і лише тоді, коли вона сама є кінцевою. І дуже мало функцій мають кінцевий інтеграл. Якщо функція має кінцевий інтеграл, вона повинна бути не нульовою лише на підрахунковій кількості точок. Таким чином, переважна більшість функцій, які ви, напевно, знаєте, не мають кінцевого інтеграла під цим заходом.
А тепер до дельта-функцій. Візьмемо дуже широке визначення. У нас є вимірне простір (X, μ) (так що це безліч з заходом на ньому) і елемент ∈ X . Ми "визначимо" дельта-функцію (залежно від а ) бути "функцією" δ a : X → ℝ з властивістю, що δ a (x) = 0, якщо x ≠ a і ∫ X δ a dμ = 1 .
Найважливіший факт щодо цього, щоб зафіксувати це: Дельта-функція не повинна бути функцією . Це НЕ правильно визначено: Я не сказав , що & delta (а) є.
Що ви робите в цей момент, залежить від того, хто ви є. Світ тут ділиться на дві категорії. Якщо ви математик, ви говорите наступне:
Гаразд, тому дельта-функція може бути не визначена. Давайте подивимося на його гіпотетичних властивостей і подивитися , якщо ми зможемо знайти правильний будинок для неї , де вона буде визначена. Ми можемо це зробити, і закінчимо розповсюдження . Це не (обов'язково) функції, але це речі, які поводяться трохи як функції, і часто ми можемо працювати з ними так, ніби вони були функціями; але є певні речі, яких у них немає (наприклад, "значення"), тому нам потрібно бути обережними.
Якщо ви не математик, ви говорите наступне:
Гаразд, тому дельта-функція може бути неправильно визначена. Хто так каже? Купка математиків? Ігноруйте їх! Що вони знають?
Тепер образив мою аудиторію, я продовжуватиму.
Діраковской дельта зазвичай береться дельта - функція точки (часто 0) в реальному відповідності зі своєю стандартною мірою. Тож ті, хто скаржиться в коментарях про мене, не знаючи моїх дельтів, роблять це, тому що вони використовують це визначення. За них я вибачаюся: хоча я можу вийти з цього, використовуючи захист математика (як популяризує Humpty Dumpty : просто переосмислити все так, щоб це було правильно), погана форма використовувати стандартний термін, щоб означати щось інше.
Але є дельта-функція, яка робить те, що я хочу, і це те, що мені тут потрібно. Якщо взяти міру точки на безліч X , тобто є справжньою функція δ в : X → ℝ , яка задовольняє критерії для дельта - функції. Це тому, що ми шукаємо функцію X → ℝ, яка дорівнює нулю, за винятком а, та така, що сума всіх її значень дорівнює 1. Така функція проста: єдиний пропущений фрагмент інформації - це її значення в , а щоб отримати суму дорівнює 1, ми просто присвоїмо їй значення 1. Це не що інше, як характерна функція на {a} . Тоді:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Тож у цьому випадку для одинарного набору характерна функція та дельта-функція узгоджуються.
На закінчення, тут є три родини "функцій":
- Характерні функції однотонних множин,
- Дельта функцій,
- Функціонує дельта Kronecker.
Другий з них є найбільш загальним , як будь-який з інших є прикладом цього при використанні вимірювання точки. Але перші та треті мають перевагу в тому, що вони завжди є справжніми функціями. Третій насправді є особливим випадком першого, для певного сімейства доменів (цілих чисел або їх підмножини).
Отже, нарешті, коли я спочатку написав відповідь, я не міркував належним чином (я б не пішов так далеко, щоб сказати, що я був розгублений , тому що я сподіваюся, що щойно продемонстрував, що знаю, про що говорю, коли Я насправді думаю по-перше, я просто не дуже думав). Звичайний сенс дельти dirac - це не те, що тут потрібно шукати, але одним із пунктів моєї відповіді було те, що вхідний домен не був визначений, тому дельта Kronecker також не була б правильною. Таким чином, найкращою математичною відповіддю (на яку я мав на меті) була б характерна функція.
Я сподіваюся, що це все зрозуміло; і я також сподіваюся, що мені ніколи більше не доведеться писати математичний фрагмент, використовуючи HTML-об'єкти замість TeX-макросів!