Як компактно представити кілька станів кубіту?

Оскільки доступ до квантових пристроїв, здатних здійснювати квантові обчислення, все ще вкрай обмежений, представляє інтерес моделювати квантові обчислення на класичному комп'ютері . Представляючи стан кубітів як вектор, приймає елементів, що значно обмежує кількість кубітів, які можна розглядати в таких моделюваннях.$n$$2^n$

Чи можна використовувати представлення ^1, яке є більш компактним, в тому сенсі, що воно використовує менше пам'яті та / або обчислювальної потужності, ніж просте векторне подання? Як це працює?

Хоча це легко здійснити, зрозуміло, що векторне подання є марним для станів, які демонструють рідкість та / або надмірність у своєму векторному поданні. Для прикладу конкретного, розглянемо стан 3-кубіт . Він містить елемента, але вони припускають лише можливі значення, при цьому більшість елементів дорівнює . Звичайно, щоб бути корисним у моделюванні квантових обчислень, нам також слід було б розглянути, як представити ворота та дію воріт на кубітах, і включити щось про них було б вітатися, але я би радий почути і про кубіти.$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Зауважте, що я запитую про представлення, а не про програмне забезпечення, бібліотеки чи статті, які можуть використовувати / представляти такі уявлення. Якщо ви представляєте та пояснюєте представлення, ви дуже часто можете зазначити, де воно вже використовується.}

Існує багато можливих способів компактно представити стан, корисність якого сильно залежить від контексту.

Перш за все, важливо зауважити, що неможливо мати процедуру, яка може перевести будь-який стан на більш ефективне представлення того ж стану (з тієї ж причини, чому очевидно неможливо вірно стиснути жоден 2-бітний рядок як 1-бітна рядок із відображенням, яке не залежить від рядка).

Однак, як тільки ви почнете робити певні припущення, ви зможете знайти більш ефективні способи представити стан у заданому контексті. Існує безліч можливих способів зробити це, тому я згадаю лише декілька, які спадають на думку:

1. Вже стандартне векторне подання кет-стану можна розглядати як "стиснене уявлення", яке працює за умови, що стан є чистим . Дійсно, вам потрібно реальна ступінь свободи, щоб представити довільний (загалом змішаний) n -квітний стан, але лише 2 n + 1 - 2 для представлення чистого.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Якщо припустити , стан бути практично чистим, тобто таке , що ρ рідкісна в деякому поданні (еквівалентно, ρ низький ранг), а потім знову стан може бути ефективно охарактеризований. Для d -вимірної системи (так d = 2 n для n -qubit-системи) замість використання параметрів ~ d 2 ви можете мати вірне уявлення, використовуючи лише , де - це розрідженість держави (див. 0909.3304 та твори, що з’явилися після цього).$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$

3. Якщо вас цікавить лише обмежена кількістьзначень очікування, ви можете знайти стиснене представлення -бітового стану розміру . Зауважте, що це означає експоненціальне зменшення . Це було показано (я думаю) у Quant-ph / 0402095 , але вступ, поданий у 1801.05721 рр., Може бути більш доступним для фізика (а також представляє вдосконалення методу оптимізації). Дивіться посилання в цьому останньому документі для низки подібних результатів.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Якщо ви знаєте, що заплутаність стану обмежена (у певному сенсі, який можна точно визначити), то знову можна виявити ефективні уявлення щодо тензорних мереж (вступ знайдений, наприклад, у 1708.00006 ). Нещодавно також було показано, що наземні стани деяких помітних гамільтоніян можуть бути представлені за допомогою натхненного машинного навчання ансадзе (( 1606.02318 та багато наступних робіт). Це також нещодавно було показано / заявлене, що воно є еквівалентним конкретному представленню мережі тензорів, проте ( 1710.04045 ), тому я не впевнений, чи слід переходити до власної категорії.

Зауважте, що у всьому вищесказаному ви можете більш ефективно представляти заданий стан, але для того, щоб імітувати еволюцію системи, яка, як правило, потрібно повернутися до початкового неефективного подання. Якщо ви хочете ефективно представити динаміку стану за допомогою даної еволюції, вам знову потрібні припущення про еволюцію, щоб це стало можливим. Єдиний результат, який приходить в голову з цього приводу, - це класична (як у закріпленій, а не як у «неквантній») теоремі Готтесмана-Кнілла , яка дозволяє ефективно моделювати будь-який квантовий ланцюг Кліффорда.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Я не впевнений, що використання ощадливості - це хороший підхід: навіть одноквартитні ворота можуть легко перетворити розріджений стан у щільний.

$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

$n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Формалізм стабілізатора також відіграє важливу роль у квантовій корекції помилок.

Чи можна використовувати представлення, яке є більш компактним, в тому сенсі, що воно використовує менше пам'яті та / або обчислювальної потужності, ніж просте векторне подання? Як це працює?

Джерело: " Кілька Qubits ":

"Один кубіт можна тривіально моделювати, імітуючи квантовий обчислення в п'ятдесят кубітів, можливо, потіснить межі існуючих суперкомп'ютерів. Збільшення обсягу обчислення лише на один додатковий кубіт подвоює пам'ять, необхідну для зберігання стану, і приблизно вдвічі збільшує час обчислення. . Це швидке подвоєння обчислювальної потужності є причиною того, що квантовий комп'ютер із відносно невеликою кількістю кубітів може значно перевершити найпотужніші суперкомп'ютери сьогодні, завтра і далі за деякими обчислювальними завданнями. "

Таким чином, ви не можете використовувати схему Понци або пограбувати Петра, щоб заплатити Павлу . Стиснення дозволить заощадити пам'ять ціною складності обчислювальної техніки, або представлення у більш гнучкому просторі (більший) зменшило б обчислювальну складність, але за рахунок витрат на пам'ять. По суті, потрібні більш здатні апаратні або розумніші алгоритми.

Ось кілька методів:

• Стиснення обсягу множин квантових станів метрики Кубіта:

Інформація метрика Фішера може бути використана для відображення обсягу кубіта з використанням геометрії підхід інформації , як описано в розділі « обсязі двухкубітових держав з інформаційної геометрії », « Аналіз інформації Фішера і Крамер-Рао для нелінійного оцінювання параметрів Після стисненого зондування ", і наше" Інтуїтивне пояснення інформації про Фішера та пов'язане з Cramer-Rao ".

• Аналог стиснення операндів:

Обчислення оптимальних глибинних декомпозицій логічних операцій: " Алгоритм зустрічі в середині для швидкого синтезу квантових схем, оптимальних для глибини " або ця дискусія Quora на тему " Кодування розмірності частинки ".

• Аналог стиснення пам'яті:

Кватритна факторизація за допомогою потрійної арифметики: " Факторинг з кутритами: алгоритм Шора про потрійні та метаплектичні квантові архітектури " та " Квантовий синтез трикутних ланцюгів за допомогою операцій проектування ".

• Аналогічно традиційній оптимізації

" Квантовий алгоритм знаходження мінімальних ексклюзивних чи виразів ".

• Інший:

Крупні розміри або аксіоматизація та переписування графіків: " Повнота обчислення ZX для чистого Квіту Кліфорда + Квантова Механіка ".

Поєднуючи ці прийоми, ви повинні мати можливість втиснути ногу у взуття. Це дозволило б емуляцію великих систем на звичайних процесорах, просто не вимагайте від мене пояснення докторської роботи або написання коду. :)