Яке математичне обґрунтування «універсальності» універсальної сукупності квантових воріт (CNOT, H, Z, X та π / 8)?

У цій відповіді я згадував, що ворота CNOT, H, X, Z і утворюють універсальний набір воріт, який, наданий у достатній кількості воріт, може довільно наблизитись до реплікації будь-яких унітарних квантових воріт (я дізнався про цей факт з лекцій професора Умеша Вазірані EdX). Але чи є для цього математичне обґрунтування? Там повинно бути! Я намагався шукати відповідні документи, але не зміг знайти багато.$\pi/8$

У відповіді ви згадуєте посилання на книгу Майкла Нільсена та Ісаака Чуанга « Квантове обчислення та квантова інформація» (Cambridge University Press), яка дійсно містить доказ універсальності цих воріт. (У моєму виданні 2000 року це можна знайти на стор. 194.) Основне розуміння полягає в тому, що ворота (або ворота) разом із воротами створюють два різних обертання на кулі Блоха з кутами, які є ірраціональними кратними . Це дозволяє комбінаціям і воріт щільно заповнювати поверхню сфери Блоха і тим самим наближати будь-якого одноквартитного унітарного оператора.π / 8 $T$$\pi/8$$H$T $2\pi$$T$$H$

Про те, що це можна зробити ефективно , показана теорема Соловая-Кітаєва . Тут "ефективно" означає поліном у , де - бажана точність. Це також доведено у книзі Нільсена та Чуанга (Додаток 3 до видання 2000 р.). Явну конструкцію можна знайти на https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 .$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

Об'єднання воріт CNOT дозволяє наблизити довільні багатоквартирні унітарії, як показали Barenco et al. в Фіз. Преподобний А 52 3457 (1995). (Передрук цього документу можна знайти за посиланням https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Про це також йдеться у Nielsen та Chuang (стор. 191 у виданні 2000 р.).

$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

$\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$