З огляду на розкладання для унітарного

13

Припустимо, у нас є розкладання ланцюга унітарного використанням універсального набору воріт (наприклад, CNOT-воріт та одиночних кубітних одиниць). Чи існує прямий спосіб записати схему відповідного керованого унітарного використовуючи той самий універсальний набір воріт? $U$ $C_U$

Наприклад, візьмемо як ланцюг: $U=i Y = H X H X$

Ми можемо замінити ворота ворота (CNOT), щоб отримати : $X$ $C_X$ $C_U$

Це працює, тому що якщо кебіт управління знаходиться у стані дію на ціль , в той час як для вона застосовує схему для . Для різних , зокрема, якщо він діє на кілька кубітів, придумати таку схему може бути громіздко. Чи є рецепт отримання схеми враховуючи, що ви знаєте, як побудувати ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— М. Стерн
джерело

Ви запитуєте, як побудувати CU з довільного однокубітного U? Спосіб для цього можна знайти в главі 4 N&C (див., Наприклад, рисунок 4.6 в останній редакції), який в основному є узагальненням розкладу, який ви показали

— glS

@ glS о, о, я не знав цього. Виглядає точно як мій приклад. Добре бачити, як він реалізує фазу

. Але вони, схоже, не обговорюють узагальнення на більш цільових кубітах?

α

$\alpha$

— М. Штерн

15

Питання може бути не зовсім чітко визначеним, в тому сенсі, що для запиту способу обчислення від розкладання вам потрібно вказати набір шлюзів, який ви готові використовувати. Дійсно, відомий результат, що будь-який кубітний затвор може бути точно розбитий за допомогою операцій та одноквартитних операцій, так що наївною відповіддю на питання було б: просто розкласти використовуючи однокубітні та s. $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Інша інтерпретація питання полягає в наступному: задавши , чи можу я обчислити використовуючи набір одноквартитних операцій, а s не на контрольному кубіті , а s, що управління є першим кубітом? Це можна зробити узагальненням результатів, знайдених у четвертій главі Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Нехай - одноквадратна ворота. Тоді можна довести, що завжди можна записати як , де - ворота Паулі X, а і - одноквітні операції, такі, що ( див. N&C для підтвердження). Звідси випливає, що $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ де - фазовий затвор, застосований до першого кубіту, а - застосовано до другого кубіту. Це негайно, як тільки ти зрозумієш, що якщо перший кубіт , то

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ стає ідентичністю, а на другому кубіті ви маєте операції

, які надають ідентичність. З іншого боку, якщо перший кубіт

, а потім на другому рейці ви маєте

, який (разом з фазою) дорівнює

за визначенням.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Вищезгадане розкладання може бути використане для пошуку наивного способу обчислення для загального кубітного унітарного затвора. Основне спостереження полягає в тому, що , якщо для будь-якого набору вентилів , тоді $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Але ми також знаємо, що будь-який -кбіт може бути розкладений через CNOTs та операції з одноквартирними кубітами. Звідси випливає, що - це послідовність операцій CCNOT і , де CCNOT тут ворота, застосованого до деякого кубіту, обумовленого двома іншими кубітами, , і являє собою операцію одного кубіта на деякому кубите. Але знову ж таки, будь-яку операцію CCNOT (її також називаютьToffoli) можна розкласти, як показано на рисунку 4.9 в N&C та

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ розкладаються, як показано в першій частині відповіді.

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
джерело

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

Хоча це може не відповісти на ваше запитання повністю, я думаю, що це може дати певний напрямок мислення. Ось два важливі факти:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 Елементарні ворота для квантових обчислень-A. Баренко (Оксфорд), Ч. Беннетт (IBM), Р. Клів (Калгарі), Д. П. Дівінченцо (IBM), Н. Марголус (MIT), П. Шор (AT&T), Т. Слейтор (NYU), Дж. Смолін (UCLA) ), Х. Вайнфуртер (Інсбрук)

2 оптимальних реалізації контрольованих унітарних воріт - Гуанг Сонг, Андреас Клаппенекер (Техаський університет A&M)

— Санчаян Дутта
джерело